新未名空间

1, A = I + [v,w]*[w,v]^T
2, then inv(A) 用woodbury计算
3, det(A) = det(I + [w,v]^T*[v,w])，这里的I是2x2矩阵，这个也很容易算。

YWY 写了： 2022年 12月 26日 12:41 disc投影到平面 [e1, e2]*a 的面积应该是 |det([M, e3, e4])|

是的，你的是对的! 谢谢更正。

将 M 块分成 [M1, M2]，然后 [M, e3, e4] 可以块分成 [M1, O; M2, I]，然后

det([M1, O; M2, I]) = det(M1) det(I) = det(M1)

这样就将这个“几何的方法”和Cauchy-Binet公式对应起来了，也就证明了这个帖子的结论。

2 里的 = 号 还是对的。昨天算两个subspace的夹角搞错了，不应该采用wiki里“angle between flat”里的角度。

例如unit area disc所在的平面是 M*a, M是4x2的矩阵，满足 M'*M = [1,0;0,1]，a是任意2x1的向量。disc投影到平面 [e1, e2]*a 的面积是

|det([M, e1, e2])|

所有这些面积的平方和还是1，i.e.,

sum_{1<=i<j<=4} |det([M, e_i, e_j])|^2 = 1

至此可以说FGH那个帖子里的结论应该对任意flat的物体都是成立的，与其边界的形状无关 ...

再follow up了一下，

1，Cauchy-Binet公式是很有效。但这个帖子更关心的是非parallelipipeds的形状，如disk。
2，对于非parallelipipeds的形状，如disk，应该是 “flat的面积 <= sqrt(投影的面积的平方和)”，算了几个数值解，=号好像只有在很特定的条件下才成立

Caravel 写了： 2022年 12月 25日 12:50 标题不对吧，面积的平方 = 平方和

已更正

verdelite 写了： 2022年 12月 24日 23:23 你这个只限于三维中成立吗？能不能推广到高维？
你这首楼后半部分算证明吗？

再回头看看FGH楼的回帖，大家的回复已经很深入讨论了。我只是强调说boundary不规则时结论任成立，和维度没有太大关系。

针对“高维勾股定理”帖子的延申。

你可以证明 “n维嵌入m（>=n）维” 的一般情形的case。

找到那些principal angles，应该有 sum_{i,j} (cos(principal angle_{i,j}))^2 = 1。
应该是很一个很fundamental的结论，一时想不起来出去了。manifold上算体积，曲率等好像常用到这些东西。
基本是在计算两个subspace的principal angles，和那个面的边界没有任何关系，和嵌入的空间的维数也无关。

这个应该和维度没有关系，只和“曲率=0”有关。

1维的直线，无论镶嵌在多少维的欧式空间，都有 dl^2 = sum_i dx_i^2

2维的面（边界可以是弯的），无论镶嵌在多少维的欧式空间，都应该有 dS^2 = sum_{i,j} (dx_i dx_j)^2。找到S与各个平面 dx_i dx_j的principal的夹角应该可以证明这个

...

我只是看到FGH的帖子便提到这些。

老站常去葵花宝典看看，新站这个stem也不错。

btw，两次Givens rotations后当然还是成立的：

S^2 = (S cos(theta) cos(phi))^2 + (S sin(theta) cos(phi))^2 + (S sin(phi))^2

看到那个“高维勾股”的帖子，我提个更一般的（seems correct，没有仔细推敲，曲面的面积就是这么计算的）。

不失一般性，只考虑一个Givens rotation。面积 S 的一块平面（边界可以是曲的，凹的），投影到xy, yz，zy的面积为

S cos(theta), S sin(theta), 0

因此 S^2 = (S cos(theta))^2 + (S sin(theta))^2 + 0^2

Givens rotations加上平移可将这个平面移到任意位置，因此这个关系式总是成立的。

update: n维的flat object镶嵌在m(>n)维欧式空间仍应该是成立的 ...

是不是简单问题复杂化了？曲面的面积（比如球面的面积）就是这么计算的：

把一小块曲面近似成一个小平面，由两个向量 u =（dx1, dy1, dz1）和 v =（dx2, dx3, dz3）张起来，这一小块的面积便是 sqrt(det( transpose([u,v]) * [u,v] ))，也就是投影到xy, xz, yz的面积的平方和的平方根。

更一般的，曲线的长度和高维里的体积也是类似这么计算的。