新未名空间

引刚刚matrix引的长度是基于（宏观）测度论的宏观概念那一贴，和我提到的我们测长度从来不从微观粒子开始然后加总，这就要从康德对认知论的革命说起。这些概念（包括人类感官界限）都是一体的而达到一致性。

站内帖子：常数之常，测量基本单位根基的变化

讨论一下为何这些从认知论从测量开始教物理或者构建物理的方向现在几乎没听到过。

TheMatrix 写了： 2026年 5月 2日 19:12

vitro 写了： 2026年 5月 3日 04:40

引刚刚matrix引的长度是基于（宏观）测度论的宏观概念那一贴，和我提到的我们测长度从来不从微观粒子开始然后加总，这就要从康德对认知论的革命说起。这些概念（包括人类感官界限）都是一体的而达到一致性。

站内帖子：常数之常，测量基本单位根基的变化

讨论一下为何这些从认知论从测量开始教物理或者构建物理的方向现在几乎没听到过。

你把测度论归类为宏观测量的范畴，然后再和微观加总相比较，这个视角很新颖。

不然为何叫测度论。

https://www.zhihu.com/question/20018571 ... 2929929436

这个说法类似。
还有希尔伯特那时几何和概率是算物理系的，我记得提过。这就可以反应认知论的发展和我这个说法的历史轨迹。

TheMatrix 写了： 2026年 5月 3日 09:03

你把测度论归类为宏观测量的范畴，然后再和微观加总相比较，这个视角很新颖。

刚刚引的这位知乎作者最新一篇讲了如果人类数学从复数开始，历史会怎样。。。正是巧合。

简单说，就是不同的点占了不同的位置，当然就有了距离。这是前提，不需要证明。

至于数学的困惑，那是庸人自扰的问题。
量子力学认为所有点可以出现在同一个位置，这样就可以解决上面庸人自扰的数学问题。但这是阿Q的方法。

vitro 写了： 2026年 5月 3日 09:08

不然为何叫测度论。

https://www.zhihu.com/question/20018571 ... 2929929436

这个说法类似。
还有希尔伯特那时几何和概率是算物理系的，我记得提过。这就可以反应认知论的发展和我这个说法的历史轨迹。

这里是我想到的，提供一些思考方向。

我觉得我们经常混淆三个层次的东西：

1）纯数学，
2）物理模型,
3）试验测量。

数学里的“点构成线段”不是说许多零长度的小颗粒堆出了长度；而是说，在某种数学结构中，线段可以被理解为点的集合，并且这个集合上定义了距离和长度。也就是说长度这个概念是定义在线段（也就是点的集合）这个概念上的。

数学的精确性来自定义和内在逻辑性，物理的有效性来自模型和近似，实验的可靠性则来自实际测量和误差控制。把这三层分开，这个问题就不再是矛盾。

1) 纯数学是研究抽象结构，比如数、集合、函数、几何、拓扑。这里追求严格证明。比如数是什么，加法、除法等运算是什么，由如何构成一个逻辑整体。在纯数学中，点、线段、长度这些概念不是从现实物体中直接拿来的，而是经过抽象和定义之后形成的对象。数学里的“点”没有长度，数学里的“线段”却可以有长度，这并不矛盾，因为线段的长度并不是把每个点的长度一个一个相加得来的。

“线段由点构成”这句话说得并不精确，很容易误导人。它更准确的意思是：线段上的每一个位置都是一个点，或者说线段可以看作点的集合。但这并不意味着线段像一串珠子那样由一个个有大小的小东西拼接而成。点不是零件，线段也不是用点砌出来。数学里的“构成”更像是集合意义上的“包含这些元素”，而不是物理意义上的“用这些材料拼装”。

这就涉及数学哲学中的不同理解，也就是说对点和线的理解即使在数学家内部也不统一。柏拉图主义者可能会说，数学对象有某种独立的、理想的存在；现实中的线段只是近似地体现这种完美对象。形式主义者可能会说，数学只是符号和规则系统，“点”、“线段”、“长度”的意义来自公理和推导。结构主义者则会强调，数学研究的不是孤立对象，而是对象之间的关系和结构；点的意义来自它在整个几何结构中的位置。经验主义或自然主义者则可能认为，数学概念来自人类对现实经验的抽象，例如测量长度、比较形状、划分空间等。

2) 但无论采取哪种立场，数学中的点和线段都不应直接等同于现实中的物体。到了物理模型这一层，情况就不同了。物理模型则需要把数学结构对应到现实量，例如长度、时间、质量、电场、概率。这里就需要理想化。物理学会借用数学中的点、线、长度、连续空间等概念来描述现实，但这些概念已经是模型的一部分。我们要从物理模型的角度去思考这些概念，而不仅仅是从数学的角度。比如我们可以把一个质点看作“没有大小的点”，但这并不是说现实中真的存在一个没有大小的物体，而是说在某些问题中，物体的大小可以忽略不计。

你也不能像数学那样进行一些运算，有时候用数学思考比较清晰的概念，但用物理模型去思考就不是那么清晰。如果我们问“两个 1 cm 的物体相加是否等于 2 cm”，就必须先说明物理上的“相加”是什么意思。是首尾相接？并排放置？重叠？压缩？

在数学里，1cm + 1 cm = 2 cm 很清楚的概念；但在物理世界中，要把这个加法应用到现实物体上，就必须规定在物理模型中的具体操作条件。否则，“加”这个词本身是不完整的。

同样，在数学上，我们可以说任意两点之间还有第三点，甚至有无穷多个点；但在物理上，我们不能真的把一个粒子无限地塞进另外两个粒子之间。数学连续性和物理可分性不是同一回事。

3) 第三个层次，实验测量就用仪器得到数据。这里永远有误差、噪声、校准、分辨率、环境干扰。比如今天SI 中的秒，是通过固定铯-133原子未受扰动基态超精细跃迁频率的数值来定义的：这个频率被定义为9,192,631,770 Hz，因此一秒对应这种辐射的 9,192,631,770 个周期。这个定义非常精确，但现实中的原子钟仍然要处理外界场、温度、引力、仪器噪声等实际因素。BIPM对秒的定义也是按照这个固定频率来表述的。

4) 回到“线段由点构成，线段上的每个点都没有长度，线段为什么会有长度”这个问题，这个问题的悖论感，来自把“数学中的构成”误解成了“物理中的拼接”。数学中的点没有长度，线段有长度，并不是因为无数个没有长度的点相加得到了长度，而是因为线段作为一个连续结构，本身被赋予了度量。点是线段中的位置，线段的长度是端点之间的距离，二者属于不同层次的概念。如果把这句话搬到物理世界中，就更要谨慎。现实中没有真正的数学点，也没有完全理想的数学线段。物理学可以用点和线段建立模型，但这些模型只是对现实的理想化描述。

一个是一维 一个是二维

忽然想起在学流体力学时，流体微团，这个概念。

那时就想：到底是多少个水分子在一起就叫“流体微团”呢？

NS方程是连续的，是建立在对流体的理想化模型上面。即使完全解析出N S方程，也不会搞清楚真正的流体力学。

从这一点，我感到为韦神不值，不知道去解析N S方程有什么意义，从物理上，我感觉意义不大。在数学上，我不太懂，可能有点意义吧，但还是感觉是浪费才华。

具体算几道矩阵的题，就不会钻牛角尖了。
还是没出来的阶段。

ferrygao 写了： 2026年 5月 3日 12:44

一个是一维 一个是二维

如果引进“维数”这个概念，有可能把问题变的复杂。

在标准的几何测度中，单个点的长度（测度）被定义为 0。如果 1 个点的长度是 0，那么无数个点加在一起，长度为什么会变成 1？好像是，当点的数量达到“不可数无穷”时，奇迹发生了，它们的集合拥有了非零的长度。与其说依靠奇迹，还不如不把长度（测度）定义在单个“点”上的，而是定义在“点的集合”（线段）上的。

还有分形中存在非整数的维度。所以，在分形数学里，传统意义的“长度”概念就失效。而是根据物体的“粗糙程度”和“填充空间的效率”来给它定义一个维度。

但是，物理中有一个简单粗暴的狄拉克 δ 函数（Dirac Delta Function），在这个点在中心处的数值是无穷大，但在其他地方都是 0，且对它进行“积分”（求总和）的结果等于 1。它在一些物理公式中非常重要，但在纯粹的长度定义上，它更像是一种为了计算方便而存在的“理想化模型”。

所以“理想化模型”这个概念在现代物理学上非常重要。我以前写过一个简介，也留个记号：

物理学只捕捉到了自然界的部分真实

无穷多个0加起来还是0，这句话不完全对。只对countable成立，uncountable不成立。

TheMatrix 写了： 2026年 5月 2日 19:12

Dancing Dolphin 写了： 2026年 5月 3日 15:23

如果引进“维数”这个概念，有可能把问题变的复杂。

在标准的几何测度中，单个点的长度（测度）被定义为 0。如果 1 个点的长度是 0，那么无数个点加在一起，长度为什么会变成 1？好像是，当点的数量达到“不可数无穷”时，奇迹发生了，它们的集合拥有了非零的长度。与其说依靠奇迹，还不如不把长度（测度）定义在单个“点”上的，而是定义在“点的集合”（线段）上的。

还有分形中存在非整数的维度。所以，在分形数学里，传统意义的“长度”概念就失效。而是根据物体的“粗糙程度”和“填充空间的效率”来给它定义一个维度。

但是，物理中有一个简单粗暴的狄拉克 δ 函数（Dirac Delta Function），在这个点在中心处的数值是无穷大，但在其他地方都是 0，且对它进行“积分”（求总和）的结果等于 1。它在一些物理公式中非常重要，但在纯粹的长度定义上，它更像是一种为了计算方便而存在的“理想化模型”。

所以“理想化模型”这个概念在现代物理学上非常重要。我以前写过一个简介，也留个记号：

物理学只捕捉到了自然界的部分真实

一点也不复杂

https://chatgpt.com/s/t_69f7af7aa87c819 ... 08ed06d9cd
物理上我们是在近似两点间最短距离是直线的数学理想态。这是定义/公设，没有其他数学性质证明它。然后也是宏观层面的-不用考虑两点之间的微观子线段是否直。这里是预设了(想想构建派的思路)有个先验的尺子存在(想想康德的说法)。物理上测量就要考虑尺子是否直，但基于以上数学上的构建，我们只需在宏观上验证，ChatGPT上面给大家总结了这些物理验证(我还让给了照片)，就是校准机制，你看都是验证给定两点间是否直线。微观上比如几子线段的不直可能互相取消是允许的。
如果要微观验证，我觉得那个不可数段长度相加就是无法跳跃的逻辑步骤会碰到, 实践中计算机精度到一定程度应该会能模拟到。我的讲法如何?
大量其他测量存在一样的问题。你需要一把尺子来校验，这把尺子是逻辑上无法还原到微观的，这不仅是个技术进步的问题。当然这个逻辑也是基于认识论的。基于另一套数学可能就没这个逻辑问题。

TheMatrix 写了： 2026年 5月 3日 09:03

你把测度论归类为宏观测量的范畴，然后再和微观加总相比较，这个视角很新颖。

FoxMe 写了： 2026年 5月 3日 16:13

无穷多个0加起来还是0，这句话不完全对。只对countable成立，uncountable不成立。

这个问题算paradox，其实并不存在矛盾，japamer的解释就很好。

数学中划分countable和uncountable，而uncountable个数相加无定义，可以算是阻断了可能存在的矛盾。

TheMatrix 写了： 2026年 5月 3日 17:25

这个问题算paradox，其实并不存在矛盾，japamer的解释就很好。

数学中划分countable和uncountable，而uncountable个数相加无定义，可以算是阻断了可能存在的矛盾。

不存在paradox，别把无穷小等同于0。

vitro 写了： 2026年 5月 3日 17:04

https://chatgpt.com/s/t_69f7af7aa87c819 ... 08ed06d9cd
物理上我们是在近似两点间最短距离是直线的数学理想态。这是定义/公设，没有其他数学性质证明它。然后也是宏观层面的-不用考虑两点之间的微观子线段是否直。这里是预设了(想想构建派的思路)有个先验的尺子存在(想想康德的说法)。物理上测量就要考虑尺子是否直，但基于以上数学上的构建，我们只需在宏观上验证，ChatGPT上面给大家总结了这些物理验证(我还让给了照片)，就是校准机制，你看都是验证给定两点间是否直线。微观上比如几子线段的不直可能互相取消是允许的。
如果要微观验证，我觉得那个不可数段长度相加就是无法跳跃的逻辑步骤会碰到, 实践中计算机精度到一定程度应该会能模拟到。我的讲法如何?
大量其他测量存在一样的问题。你需要一把尺子来校验，这把尺子是逻辑上无法还原到微观的，这不仅是个技术进步的问题。当然这个逻辑也是基于认识论的。基于另一套数学可能就没这个逻辑问题。

所以要考虑数学度量和物理度量的区别。

数学上的长度是逻辑定义的（无限可分），而物理上的长度是观测定义的（受限于能量和尺度）。 它们在宏观上达成了一致，但在微观上却不同。

​在数学（测度论）中，长度是一个纯粹的集合属性。数学可以把长度可以定义在任意小的尺度上。无论你取多短的线段，它在逻辑上都具备长度。数学长度的本质是“不可数个点的并集”。它不需要物理支撑，只需要逻辑自洽。

​在物理学中，长度是通过测量得到的。在​宏观上， 物理长度与数学长度高度重合。而在微观，比如原子层级，“长度”开始变得模糊。原子的边缘不是像木板那样平直的，而是电子云的概率分布。而到了量子层级（普朗克尺度）， 长度这个概念彻底崩塌。

​于是，有些物理学家认为： 长度可能不是宇宙的最底层，而是一个“涌现”（Emergence）出来的宏观概念。就像“温度”在单个分子层面没有意义（只有动能），“长度”在极其微观的层面可能也不再适用。

数学为物理提供了一套近乎完美的工具。然而，当物理学借用这些工具时，必须审慎地重新映射数学符号与物理对象之间的对应关系。

​这种映射并非理所当然。例如，当我们试图以氢原子作为基本刻度来‘排布’一把微观尺子时，我们必须面对一系列数学之外的拷问：这种原子的排列在物理上是否具备绝对的重复性？测量行为本身是否会干扰被测对象？在量子尺度下，测不准原理如何限制了我们定义的‘刻度’？

所以，用数学去做物理前要三思，科学史就不断证明了这一点。

• 从牛顿到爱因斯坦：牛顿假设了数学上的“绝对时间”。爱因斯坦“三思”后发现，时间必须通过“光信号的交换”来定义（测量协议）。结果，时间变成了相对的。

• ​量子力学的诞生：海森堡发现，如果你想观察电子（测量），你必须用光子去撞它。这个“测量动作”本身改变了结果。于是，数学上的“确定的轨道”变成了“概率的波函数”。

同理，数学中的许多概念和性质，并不一定需要在物理世界中找到一个完全对应的对象。它们只是在数学体系内部成立的。

比如我们常说“两点之间直线最短”。在欧几里得几何中，这可以被看作一个基本性质；但到了物理世界中，情况就不一定如此。现实空间可能受到引力、介质、边界条件、测量方式等因素影响。更进一步，在广义相对论中，物体沿着时空中的测地线运动，而这已经不再是普通欧几里得意义上的“直线最短”。所以，数学中的“最短”与物理中的“实际路径”，存在模型选择和物理解释。

类似地，距离、无限大、无限小、连续性、维度、曲率、概率、空间等数学概念，也不必都被理解为现实中直接存在的东西。它们可以是某个数学体系中的对象、规则、关系或结构。至于这些概念“到底是什么”，数学哲学内部也有不同回答。

• 数学柏拉图主义者可能会认为，数学对象具有某种独立于人类心灵的存在。按照这种看法，数、集合、几何结构、无穷等不是人类随意发明的，而是被我们发现的。

• 数学建构主义者则更强调，数学对象必须能够被明确构造出来，数学真理不能仅仅依靠抽象的存在性声明。对于他们来说，一个数学对象是否“存在”，往往取决于我们能否给出它的构造方法。

• 形式主义者会强调，数学的意义来自符号系统、公理和推导规则。数学不必首先追问这些对象是否在现实中存在，而是看它们是否能在一个一致的形式系统中被定义和操作。

• 结构主义者则认为，数学研究的不是孤立的对象，而是结构中的位置和关系。比如“1”、“2”、“+”、“点”、“线段”等的意义，不是来自它们作为单个东西的本质，而是来自它们在整个数系或几何体系中的角色。

• 数学自然主义或经验主义者则会认为，数学概念与经验世界有深刻联系。许多数学思想最初来自计数、测量、运动、空间、形状等现实经验，然后经过抽象、理想化和推广，形成了更加纯粹的数学理论。

因此，数学和物理学虽然关系非常密切，但并不是同一门学问。数学追求的是在给定定义、公理和规则之下的逻辑必然性；物理学追求的是用模型、实验和测量来解释现实世界。数学可以脱离直接经验而发展出高度抽象的体系；物理学则必须最终回到可观察、可检验的现象中。

不过，两者也不是彼此隔绝的。历史上，数学常常受到物理问题的推动，比如微积分与力学、微分方程与波动理论、黎曼几何与广义相对论、群论与粒子物理。反过来，物理学也不断借用甚至激发新的数学工具。数学为物理提供语言和结构，物理为数学提供问题和直觉。两者相对独立，又相互帮助。

回到最初的问题，“线段由点构成，线段上的每个点都没有长度，线段为什么会由长度？”

产生这样的困扰，其实是用物理学思维去思考数学问题。把“数学中的构成”误解成了“物理中的拼接”。数学的构成是一种集合属性的构成，而不是物理学意义上的排列。

但这种思维很符合科幻小说的设定，也常用于科普文章的开端，来吸引读者的注意。

在测量上也有类似的问题，我们要先有一个测量学意义上定义，才能去测量，这个定义可能与物理学或者数学不完全吻合，或者就难以定义，比如“地球的大小是多少？”