新未名空间

数学其实是无中生有的学问。从自然数，点和线出发，最终发展成参天大树，蔚为可观，叹为观止！

这里面最重要的一点就是发现实质的定义和问题，然后就像发现新大陆一样，数学家在新的框架下大有可为！

这些在以前的一些帖子里也断断续续提到过，像在

• 几何的帖子站内帖子：几何 的历史和随想 里，提到 曲率张量

• 数论的帖子站内帖子：数论随想 里，提到互反律

• 代数的帖子站内帖子：单 但不 简单 （代数结构讨论） 里，提到群环域，和simple 的概念

• 分析的帖子站内帖子：逆流而上，从零做起，讲讲 分析和方程 里，提到函数空间

这里其实应该谈下一个开拓性的定义：流形。流形局部上是欧式空间，但是个现代的定义，出现甚晚。

二维流形通过亏格的拓扑分类是经典工作。（加上复结构就成为黎曼曲面。）

三维流形受Thurston 工作的影响，最后他的 Geometrization conjecture 被Perelman 用Hamilton 开创的Ricci flow 证明。

四维开始，流形的拓扑和微分结构开始变得不同。拓扑结构由Freedman 给出，微分结构又由Donaldson 和Seiberg-Witten invariants 通过解方程来刻画。

更高维流形是Smale 的一些工作，好像更代数化。

感觉流形的问题是刻画 一个空间怎么无缝地粘接起来，其实挺有意思，不过好多方法又就是靠画画图，所以我是一直不得要领。

跟三维流形相关是knot theory，最简单，具体不过的拓扑对象，但它的研究又很深刻，和很多领域有关。我也是需要更多地了解。

三农 写了： 昨天 23:08

数学其实是无中生有的学问。从自然数，点和线出发，最终发展成参天大树，蔚为可观，叹为观止！

这里面最重要的一点就是发现实质的定义和问题，然后就像发现新大陆一样，数学家在新的框架下大有可为！

这些在以前的一些帖子里也断断续续提到过，像在

• 几何的帖子站内帖子：几何 的历史和随想 里，提到 曲率张量

• 数论的帖子站内帖子：数论随想 里，提到互反律

• 代数的帖子站内帖子：单 但不 简单 （代数结构讨论） 里，提到群环域，和simple 的概念

• 分析的帖子站内帖子：逆流而上，从零做起，讲讲 分析和方程 里，提到函数空间

这里其实应该谈下一个开拓性的定义：流形。流形局部上是欧式空间，但是个现代的定义，出现甚晚。

二维流形通过亏格的拓扑分类是经典工作。（加上复结构就成为黎曼曲面。）

三维流形受Thurston 工作的影响，最后他的 Geometrization conjecture 被Perelman 用Hamilton 开创的Ricci flow 证明。

四维开始，流形的拓扑和微分结构开始变得不同。拓扑结构由Freedman 给出，微分结构又由Donaldson 和Seiberg-Witten invariants 通过解方程来刻画。

更高维流形是Smale 的一些工作，好像更代数化。

感觉流形的问题是刻画 一个空间怎么无缝地粘接起来，其实挺有意思，不过好多方法又就是靠画画图，所以我是一直不得要领。

跟三维流形相关是knot theory，最简单，具体不过的拓扑对象，但它的研究又很深刻，和很多领域有关。我也是需要更多地了解。

介绍的不错。

三维流形的分类，四维流形的分类，高维流形的分类，knot theory，这些我都不是很了解。希望能看到你写的介绍，或者版友写的介绍。

我从更基础的角度做一点介绍。

数学的一大主题是分类。

找到一个新物体之后，就要看还有什么其他类似的物体，找到它的空间，然后把它们分类。这就像地图的打开，chartered map。地图打开了，地点标注了，心里有底了，就算理解了。

分类的依据就是isomorphism，谁是谁，谁不是谁，这是最完备的分类。isomorphism在范畴论中有最好的刻画，它是在集合的基础上，再加上代数和拓扑机构以及其他结构，得到的isomorphism的刻画。

拓扑的isomorphism就是homeomorphism。但是这个分类太细了，分出来的数量也太多了，太多之后可能也失去了分类的意义，所以就考虑粗粒意义上的分类。homotopy，homology，就是这种分类。有homeomorphism一定有相同的homology，但是相同的homology不一定homeomorphism。

流形上，除了拓扑还有微分结构，所以分类就更多，两个流形homeomorphism还可以有不同的微分结构，也就是说其isomorphism比homeomorphism还细，叫diffeomorphism。