这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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molen(猛犸象)楼主
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这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 molen(猛犸象)楼主 »

再请您看看这个问题,其中 alpha, beta 都是 multi-index notation,这个使用了multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明?

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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 YWY(夜未央) »

这个就是排列组合问题。先把k=2的情形(既二元多项式展开)弄清楚了,一般k的情况是一样的道理。

具体地说,就是k种颜色的球(每种颜色的球都有足够多个,大于等于alpha即可)混在一起,你从中取出alpha个球,按顺序排列。问:有多少种排列含有beta_1个第一种颜色球,beta_2个第二种颜色球,...,beta_k个第k种颜色球。答案就是上面公式里的那个分数式。这个数正好对应图中展开式的系数。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 TheMatrix »

YWY 写了: 2023年 7月 13日 21:47 这个就是排列组合问题。先把k=2的情形(既二元多项式展开)弄清楚了,一般k的情况是一样的道理。

具体地说,就是k种颜色的球(每种颜色的球都有足够多个,大于等于alpha即可)混在一起,你从中取出alpha个球,按顺序排列。问:有多少种排列含有beta_1个第一种颜色球,beta_2个第二种颜色球,...,beta_k个第k种颜色球。答案就是上面公式里的那个分数式。这个数正好对应图中展开式的系数。
alpha不是一个数,是一个整数向量。

我查了一下。multi index有点意思。这里的x1,…xk都是向量,用multi index power一下就变成了数。整个公式形式上完全就是数的multi nominal公式。很巧妙。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 (ツ)(污坛忍者) »

盲猜一个对k用归纳法
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 YWY(夜未央) »

TheMatrix 写了: 2023年 7月 13日 22:58 alpha不是一个数,是一个整数向量。

我查了一下。multi index有点意思。这里的x1,…xk都是向量,用multi index power一下就变成了数。整个公式形式上完全就是数的multi nominal公式。很巧妙。
好的,学习了。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 YWY(夜未央) »

molen 写了: 2023年 7月 13日 21:14 再请您看看这个问题,其中 alpha, beta 都是 multi-index notation,这个使用了multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明?

思路?或者参考?

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如果承认我二楼说的(非向量)展开式,那么一楼的展开式,通过定义用非向量的形式算两边,然后对比,就能看出是相同的。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 TheMatrix »

molen 写了: 2023年 7月 13日 21:14 再请您看看这个问题,其中 alpha, beta 都是 multi-index notation,这个使用了multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明?

思路?或者参考?

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我先把左边按定义展开,设向量维度为n:
(x1+...+xk)α
=(x11+...+xk1)α1 *(x12+...+xk2)α2... *(x1n+...+xkn)αn

然后咋办?
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 molen(猛犸象)楼主 »

TheMatrix 写了: 2023年 7月 14日 10:58 我先把左边按定义展开,设向量维度为n:
(x1+...+xk)α
=(x11+...+xk1)α1 *(x12+...+xk2)α2... *(x1n+...+xkn)αn

然后咋办?
应该就是这样,第一步之后,先求

(x1+...+xk)α

用归纳法,然后在把全部乘到一起去,用multi-index的一些符号缩写来简洁化
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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YWY 写了: 2023年 7月 14日 00:24 如果承认我二楼说的(非向量)展开式,那么一楼的展开式,通过定义用非向量的形式算两边,然后对比,就能看出是相同的。
TheMatrix 写了: 2023年 7月 14日 10:58 我先把左边按定义展开,设向量维度为n:
(x1+...+xk)α
=(x11+...+xk1)α1 *(x12+...+xk2)α2... *(x1n+...+xkn)αn

然后咋办?
每一项因式都可以继续用(我二楼提的)公式展开。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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YWY 写了: 2023年 7月 14日 13:14 每一项因式都可以继续用(我二楼提的)公式展开。
tracking index,这个应该可以用computer algebra来做一下。
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(ツ)(污坛忍者)
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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(ツ) 写了: 2023年 7月 15日 00:40 图片
嗯。不错。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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YWY 写了: 2023年 7月 14日 13:14 每一项因式都可以继续用(我二楼提的)公式展开。
这里有一个对n-dim向量α做k-partition的总数问题。看到它等于对每一个α分量做k-partition,得到n个集合,然后n个集合的product集合。其余的都是index tracking。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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TheMatrix 写了: 2023年 7月 15日 16:18 这里有一个对n-dim向量α做k-partition的总数问题。看到它等于对每一个α分量做k-partition,得到n个集合,然后n个集合的product集合。其余的都是index tracking。
是的,对n-dim向量α做k-partition,等价于对每个分量做k-partition(相对独立,乘积原理)。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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(ツ) 写了: 2023年 7月 15日 00:40 图片
严格来说,这个推导并没有证明k=2的情况。所以还需直接(或间接)验证k=2的情况;或者在第一步说k=1和k=2都“显然”成立。但我觉得k=2的难度和k>=2的难度相当,你给的归纳推导也很大程度上基于k=2的情形。
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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YWY 写了: 2023年 7月 16日 01:38 严格来说,这个推导并没有证明k=2的情况。所以还需直接(或间接)验证k=2的情况;或者在第一步说k=1和k=2都“显然”成立。但我觉得k=2的难度和k>=2的难度相当,你给的归纳推导也很大程度上基于k=2的情形。
你说得对,k=2缺证明
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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(ツ) 写了: 2023年 7月 16日 02:27 你说得对,k=2缺证明
补上k = 2的情形


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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

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(ツ) 写了: 2023年 7月 16日 02:44 补上k = 2的情形


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MrAnderson
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Re: 这个使用multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明??

帖子 MrAnderson »

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molen 写了: 2023年 7月 13日 21:14 再请您看看这个问题,其中 alpha, beta 都是 multi-index notation,这个使用了multi-index notation的 multinomial expansion 如何证明?

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