概率题：E[X^i]E[X^j] <= E[X^(i+j)]成立吗

[FoxMe]

E[Xⁱ]E[X^j] <= E[X^i+j]成立吗？这里随机变量X>0，i，j是正整数。

[TheMatrix]

E[Xⁱ]E[^j] <= E[X^i+j]成立吗？这里随机变量X>0，i，j是正整数。

方向反了吧？应该是大于等于。

[newkids_on_the_block]

E[Xⁱ]E[^j] <= E[X^i+j]成立吗？这里随机变量X>0，i，j是正整数。

这个很好证的, 利用Holder 不等式，得到蓝线的东西，然后用 s=i +j, 然后设 r=i 和 r=j 就可以了

[newkids_on_the_block]

方向反了吧？应该是大于等于。

方向没有错

[GreatCanada]

方向反了吧？应该是大于等于。

方向没有反，好像可以由赫尔德不等式证明，怎么证忘了

[TheMatrix]

这个很好证的, 利用Holder 不等式，得到蓝线的东西，然后用 s=i +j, 然后设 r=i 和 r=j 就可以了

确实。

我出一个相关的题：
还是假设X为正随机变量，(p,q)为Holder conjugate，假设p<q。
如果有另一对Holder conjugate (p',q')，p'<q'的话，
那么 p'<=p ==> E(X^1/p)E(X^1/q) <= E(X^1/p')E(X^1/q')。

[TheMatrix]

确实。

我出一个相关的题：
还是假设X为正随机变量，(p,q)为Holder conjugate，假设p<q。
如果有另一对Holder conjugate (p',q')，p'<q'的话，
那么 p'<=p ==> E(X^1/p)E(X^1/q) <= E(X^1/p')E(X^1/q')。

我这么改一下吧：
假设q>=2，假设p为q的Holder conjugate，即 1/p+1/q=1。
对于任意正随机变量X，定义K(X,q)=E(X^1/p)E(X^1/q)，
那么K(X,q)是q的单调递增函数。

[TheMatrix]

我这么改一下吧：
假设q>=2，假设p为q的Holder conjugate，即 1/p+1/q=1。
对于任意正随机变量X，定义K(X,q)=E(X^1/p)E(X^1/q)，
那么K(X,q)是q的单调递增函数。

这个问题引入Holder conjugate有点多余。应该直接这么说：
有两个正数相加等于1：u+v=1。
定义K(X,u)=E(X^u)E(X^v)。
那么，K(X,u)随着u和v之间的距离|u-v|而变化 - 单调递增。
最小的是当u=v=1/2。这时有 E(X^1/2) <= E(X)^1/2。
最大的是当u=0,v=1。这时有 E(X^u)E(X^v) <= E(X)。这基本上就是原问题。

[FoxMe]

赞！

Jensen不等式很厉害，可以不用Holder不等式：如果r<s,则x^r/s凸，那么E[X^r/s]<=E[X]^r/s. 把X改成X^s就得到蓝线里的公式。

这个很好证的, 利用Holder 不等式，得到蓝线的东西，然后用 s=i +j, 然后设 r=i 和 r=j 就可以了

[TheMatrix]

这个问题引入Holder conjugate有点多余。应该直接这么说：
有两个正数相加等于1：u+v=1。
定义K(X,u)=E(X^u)E(X^v)。
那么，K(X,u)随着u和v之间的距离|u-v|而变化 - 单调递增。
最小的是当u=v=1/2。这时有 E(X^1/2) <= E(X)^1/2。
最大的是当u=0,v=1。这时有 E(X^u)E(X^v) <= E(X)。这基本上就是原问题。

这个小问题首先应该是对的。证明应该也是比较简单的。但是我还没有找到一个简单的证明。

简单的证明应该是用Jensen 或者 Holder，用上这两个的，一般都很简单，但是很巧妙。

这样的定理数学中有不少，小而硬核，缺了就不行。比如。。。我刚想到一个，一下就忘了。

我又看了一下Jensen 和 Holder，这两个有明显的区别：Jensen是一个函数，而Holder是两个函数相乘。把这两个定理联系到一起，也是非常非常不显而易见的。

[newkids_on_the_block]

这个问题引入Holder conjugate有点多余。应该直接这么说：
有两个正数相加等于1：u+v=1。
定义K(X,u)=E(X^u)E(X^v)。
那么，K(X,u)随着u和v之间的距离|u-v|而变化 - 单调递增。
最小的是当u=v=1/2。这时有 E(X^1/2) <= E(X)^1/2。
最大的是当u=0,v=1。这时有 E(X^u)E(X^v) <= E(X)。这基本上就是原问题。

这个结果有可能是对的，花了几分钟想了一下无果，就放弃了哈。如果有人有答案，不管是简单的还是复杂的，请分享一下。

[TheMatrix]

这个问题引入Holder conjugate有点多余。应该直接这么说：
有两个正数相加等于1：u+v=1。
定义K(X,u)=E(X^u)E(X^v)。
那么，K(X,u)随着u和v之间的距离|u-v|而变化 - 单调递增。
最小的是当u=v=1/2。这时有 E(X^1/2) <= E(X)^1/2。
最大的是当u=0,v=1。这时有 E(X^u)E(X^v) <= E(X)。这基本上就是原问题。

这个结果有可能是对的，花了几分钟想了一下无果，就放弃了哈。如果有人有答案，不管是简单的还是复杂的，请分享一下。

我是这么“说明”的：

1，为了比较两对(u,v)对结果的影响，取(u,v)，(u',v')都为有理数。一般实数的话，打算用continuity argment。

2，找到全部数的common denominator，clear denominator，把4个数都变成正整数，而且有u+v=u'+v'=k。u<=v，u'<=v'，u'<=u，也就是(u',v')之间的距离比(u,v)大。要证明(u',v')得到的结果也比(u,v)大。

3，随机变量X的话，在概率空间上细分，使每个小块的概率相同，并且X在其上的取值“接近”常数。然后打算用极限的argument。

4，两对正整数(u,v)和(u',v')，进一步假设相差仅为1：u=u'+1，对应的v'=v+1。相差不为1的话，证明方式是相同的。

5，随机变量细分，再进一步假设只有两块，每块概率相同，X的取值为a和b。很多块的话，希望用summation notation证明。

6，最后化简的问题就变成，证明：
(a^u+b^u)(a^v+b^v) <= (a^(u-1)+b^(u-1))(a^(v+1)+b^(v+1))
这个比较容易证明。

[newkids_on_the_block]

我是这么“说明”的：

1，为了比较两对(u,v)对结果的影响，取(u,v)，(u',v')都为有理数。一般实数的话，打算用continuity argment。

2，找到全部数的common denominator，clear denominator，把4个数都变成正整数，而且有u+v=u'+v'=k。u<=v，u'<=v'，u'<=u，也就是(u',v')之间的距离比(u,v)大。要证明(u',v')得到的结果也比(u,v)大。

3，随机变量X的话，在概率空间上细分，使每个小块的概率相同，并且X在其上的取值“接近”常数。然后打算用极限的argument。

4，两对正整数(u,v)和(u',v')，进一步假设相差仅为1：u=u'+1，对应的v'=v+1。相差不为1的话，证明方式是相同的。

5，随机变量细分，再进一步假设只有两块，每块概率相同，X的取值为a和b。很多块的话，希望用summation notation证明。

6，最后化简的问题就变成，证明：
(a^u+b^u)(a^v+b^v) <= (a^(u-1)+b^(u-1))(a^(v+1)+b^(v+1))
这个比较容易证明。

你的很多简化步骤好像已经和原题差得太远了一些。也许从这个想法能够推导出严格的证明。我没有花时间去想。

我自己的想法是 考虑 delta 方法，把 u 增加到 u+d, d是一个非常小的数，会对E(X^u)E(X^v) 产生什么影响。

但是没有演算出来，也不知道这一条道可不可行。

[TheMatrix]

你的很多简化步骤好像已经和原题差得太远了一些。也许从这个想法能够推导出严格的证明。我没有花时间去想。

我自己的想法是 考虑 delta 方法，把 u 增加到 u+d, d是一个非常小的数，会对E(X^u)E(X^v) 产生什么影响。

但是没有演算出来，也不知道这一条道可不可行。

嗯。你这个思路是直接的，也是这个问题的目的。

如果能用上Jensen，Holder，或者Young's的话，应该会简单很多。

[FoxMe]

赞二位的专研精神，这个推广很有意思。考虑以下情况就差不多了：

E[X²]E[X²] <= E[X³]E[X¹] <= E[X⁴]是否成立？

[TheMatrix]

赞二位的专研精神，这个推广很有意思。考虑以下情况就差不多了：

E[X²]E[X²] <= E[X³]E[X¹] <= E[X⁴]是否成立？

对。就是这个情况。下面这个更好，中间的两个：

E[X³]E[X³] <= E[X²]E[X⁴] <= E[X¹]E[X⁵] <= E[X⁶]

[newkids_on_the_block]

嗯。你这个思路是直接的，也是这个问题的目的。

如果能用上Jensen，Holder，或者Young's的话，应该会简单很多。

赞二位的专研精神，这个推广很有意思。考虑以下情况就差不多了：

E[X²]E[X²] <= E[X³]E[X¹] <= E[X⁴]是否成立？

居然还是想出来了。很多年没有动这些方面的东西了，年轻时应该是容易的题目。

不懂概率测度的ID，就用概率密度函数做，思路完全一样的

[TheMatrix]

居然还是想出来了。很多年没有动这些方面的东西了，年轻时应该是容易的题目。

不懂概率测度的ID，就用概率密度函数做，思路完全一样的

嗯。很好！

还是归结到E[X^i]E[X^j] <= E[X^(i+j)]的形式。换measure的处理有点像证明Holder不等式。

[FoxMe]

赞！我也看到一个证明，用logE(x^t)的凹性：

https://www.researchgate.net/publicatio ... _variables

For a nonnegative random variable X, the Sclove et al. inequality [38, (5)] is
E X^r+1 E X^s−1 <= E X^r E X^s, 0 <= r <= s − 1.

引用的是196几年的文章。

[newkids_on_the_block]

赞！我也看到一个证明，用logE(x^t)的凹性：

https://www.researchgate.net/publicatio ... _variables

For a nonnegative random variable X, the Sclove et al. inequality [38, (5)] is
E X^r+1 E X^s−1 <= E X^r E X^s, 0 <= r <= s − 1.

引用的是196几年的文章。

也提到了Olkin 2006 的结果，就和我的描述是一模一样的。说起来我还邀请他做过报告的和他一起吃饭的，哈哈。

那个年轻时做概率统计的经历太久远了。