概率题：E[X^i]E[X^j] <= E[X^(i+j)]成立吗

[newkids_on_the_block]

嗯。很好！

还是归结到E[X^i]E[X^j] <= E[X^(i+j)]的形式。换measure的处理有点像证明Holder不等式。

回头看了一下Holder 证明，确实类似。这个换测度是概率论常用技巧，忘得差不多了

[FoxMe]

景仰景仰

也提到了Olkin 2006 的结果，就和我的描述是一模一样的。说起来我还邀请他做过报告的和他一起吃饭的，哈哈。

那个年轻时做概率统计的经历太久远了。

[newkids_on_the_block]

景仰景仰

看到另一个人的楼50岁时学数学

我也许再等十年如果能够有足够的钱（就要看股市如何表现了）提前退休，家里也空巢了，也许可以重新回去玩概率统计的数学理论，呵呵

[FoxMe]

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, and G. P?lya, Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge,
1951.

这个性质叫Schur convex.

[TheMatrix]

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, and G. P?lya, Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge,
1951.

这个性质叫Schur convex.

嗯。还有个名字叫majorization。听起来挺有道理。

[newkids_on_the_block]

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, and G. P?lya, Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge,
1951.

这个性质叫Schur convex.

这个结果不错。

[TheMatrix]

回头看了一下Holder 证明，确实类似。这个换测度是概率论常用技巧，忘得差不多了

想了一下这个换测度的技巧。这是从两个函数变为一个函数的关键，然后才可以用Jensen，否则很难直接用。

不过不管是换测度还是Jensen，从概率空间细分的角度，都是可以化解的。

[newkids_on_the_block]

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, and G. P?lya, Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge,
1951.

这个性质叫Schur convex.

用变换测度方法降低乘机的个数和这个楼里提到的两个结果，上面这个结论可以用数学归纳法来证明。

其实这里的r和s的有一些元素允许是0。如果r和s的元素都是严格正值的话，r和s的维数也可以允许是不一样的。

[FoxMe]

在Radon–Nikodym derivative见过换测度，去年看AI绘画里的Girsanov定理里也用到：

https://en.wikipedia.org/wiki/Girsanov_theorem

但是我不是很懂。这里的换测度到底是咋回事？

回头看了一下Holder 证明，确实类似。这个换测度是概率论常用技巧，忘得差不多了

[newkids_on_the_block]

在Radon–Nikodym derivative见过换测度，去年看AI绘画里的Girsanov定理里也用到：

https://en.wikipedia.org/wiki/Girsanov_theorem

但是我不是很懂。这里的换测度到底是咋回事？

测度变换和 Radon–Nikodym theorem 有关， 但是比Radon–Nikodym theorem 简单得多。

Radon–Nikodym theorem是从两个测度来算 derivative.

在我在前面纸上写的证明中的 概率测度 P 到 Q 是直接用积分构造的， 这样可以简化 期望的表达式，并去掉了一个积分，达到降阶的效果。

[FoxMe]

版上几位如果早生一百年，也可以做出与G. H. Hardy, J. E. Littlewood, and G. Polya媲美的成果， 哈哈

[TheMatrix]

测度变换和 Radon–Nikodym theorem 有关， 但是比Radon–Nikodym theorem 简单得多。

Radon–Nikodym theorem是从两个测度来算 derivative.

在我在前面纸上写的证明中的 概率测度 P 到 Q 是直接用积分构造的， 这样可以简化 期望的表达式，并去掉了一个积分，达到降阶的效果。

换测度的概念从概率空间细分的角度不难理解，但是具体的换法可能需要很高的技巧，比如holder里面的换测度，就是精心安排拼凑出来的。

[TheMatrix]

换测度的概念从概率空间细分的角度不难理解，但是具体的换法可能需要很高的技巧，比如holder里面的换测度，就是精心安排拼凑出来的。

这个换测度，简化相当于以g^q的比例在各处稀释一下。

如果以g的比例在各处稀释一下，就不好使。必须是g^q。

[FoxMe]

确实很巧。