为什么三维空间的旋转是qvq^{-1}, 二维平面只需要rv?

[苍井吱]

统一形式应该怎样表达

@huangchong

[苍井吱]

还有就是为什么平面上的点(a, b)是映射到a + bi

三维空间上的点(a, b, c)却是映射到0 + ai + bj + ck?

[huangchong]

还有就是为什么平面上的点(a, b)是映射到a + bi

三维空间上的点(a, b, c)却是映射到0 + ai + bj + ck?

你这问题太深遂了 似乎几何代数对这个有解释

[huangchong]

统一形式应该怎样表达

@huangchong

如果用旋转矩阵看就很自然 三维旋转矩阵就是三个欧拉角的二维旋转矩阵乘起来 再高次空间也是一样
但是二维空间转轴只有一个 三维空间就有了三个 四维空间会有多少个我都不知道

[tiantian2000]

你们都是什么千老？懂这么多

[弃婴千枝]

统一形式应该怎样表达

@huangchong

你妈的，都怎么学的

前者是矩阵相似变换，从几何学上说，是空间中的矢量不变但是改变坐标系，

后者是坐标系不变，但是旋转矢量

效果一样吗？你妈的，当然可以一样，相似变换矩阵可以对应一个unique的旋转矩阵（or if use euler角，对应3个旋转矩阵）

啧啧啧

[Caravel]

你妈的，都怎么学的

前者是矩阵相似变换，从几何学上说，是空间中的矢量不变但是改变坐标系，

后者是坐标系不变，但是旋转矢量

效果一样吗？你妈的，当然可以一样，相似变换矩阵可以对应一个unique的旋转矩阵（or if use euler角，对应3个旋转矩阵）

啧啧啧

三维旋转也是RV，

他第二个应该是用了quaternion表象

[弃婴千枝]

三维旋转也是RV，

他第二个应该是用了quaternion表象

第一个是vector不变但是变换坐标系

第二个是坐标系不变但是旋转vector

这是最最关键的区别，两者是等价的，数学上叫什么来着？Isomorphism？
找本群论课本，比如北大物理系写的的群论，就全明白了

[Caravel]

第一个是vector不变但是变换坐标系

第二个是坐标系不变但是旋转vector

这是最最关键的区别，找本群论课本，比如北大物理系写的的群论，就全明白了

变换坐标如果是夹心形式应该是作用在矩阵上

[Caravel]

第一个是vector不变但是变换坐标系

第二个是坐标系不变但是旋转vector

这是最最关键的区别，两者是等价的，数学上叫什么来着？Isomorphism？
找本群论课本，比如北大物理系写的的群论，就全明白了

SU(2)和SO(3)

[弃婴千枝]

变换坐标如果是夹心形式应该是作用在矩阵上

你在中国没学过群论？
这问题的深入涉及群论，2者是等价的，具体细节我忘了，是不是Isomorphism？

[Caravel]

你在中国没学过群论？
这问题的深入涉及群论，2者是等价的，具体细节我忘了，是不是Isomorphism？

Homomorphism吧

去年这个版讨论过Clifford algebra怎么表示旋转，用的就是四元数

[Caravel]

回答一下楼主，就是你用qvq^{-1}表示的时候，中间的V不是一个普通的实数vector, 而是一个四元数，或者一个2x2复数矩阵，

站内帖子：从reflection和rotation为例看clifford algebra

[FoxMe]

对，以前讨论过。n维空间的旋转反射有两种方法：一种是在n维空间内用矩阵来做，还有一种是用Clifford algebra, 用一个2ⁿ维的巨人来控制n维的小孩。咋看第二种方法是杀鸡用牛刀，但是三维空间的旋转有点特殊，用quaternion比用3x3矩阵快。

去年这个版讨论过Clifford algebra怎么表示旋转，用的就是四元数

[FoxMe]

这个技术比较巧妙，不知道是谁想出来的

三维空间上的点(a, b, c)却是映射到0 + ai + bj + ck?

[弃婴千枝]

这个技术比较巧妙，不知道是谁想出来的

物理里就有，因为SO(3)很不合眼，都是用SU(2)的2x2（比如majorana or weyl spinor）, or 4x4 (比如Dirac spinor）来表示

典型的有schrodinger方程，Dirac方程（用4x4矩阵），或者超对称超引力里面的（用2x2矩阵）

这0 + ai + bj + ck中的0叫做booster，也就是平移，对应poincare group

[Caravel]

物理里就有，因为SO(3)很不合眼，都是用SU(2)的2x2（比如majorana or weyl spinor）, or 4x4 (比如Dirac spinor）来表示

典型的有schrodinger方程，Dirac方程（用4x4矩阵），或者超对称超引力里面的（用2x2矩阵）

这0 + ai + bj + ck中的0叫做booster，也就是平移，对应poincare group

su 2到底好在哪里

[弃婴千枝]

su 2到底好在哪里

简洁，左右手分开

恰恰世界也是如此，比如刚讨论的lee yang炸药奖，就证明weak interaction只有左手没有右手

[huangchong]

这个技术比较巧妙，不知道是谁想出来的

苏格兰的汉密尔顿，他的出发点就是二维里有复数可以表示旋转，那么怎么把它升到三维去，一开始他觉得应该是需要三个数字，后来想到用4个数字才成功。

[苍井吱]

如果用旋转矩阵看就很自然 三维旋转矩阵就是三个欧拉角的二维旋转矩阵乘起来 再高次空间也是一样
但是二维空间转轴只有一个 三维空间就有了三个 四维空间会有多少个我都不知道

我昨天想了这个问题，猜想应该是8个自由度, w + xi + yj + zk + al + bm + cn + do

1阶tensor1个自由度
2阶tensor2个自由度
3阶4个
4阶8个

这样

记得你之前贴过一个quaternion的内容所以@你了