对quaternion成立。
Clifford algebra继续讨论
版主: verdelite, Tlexander
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Re: Clifford algebra继续讨论
看来这个quaternion有好几种扩展啊:
{w+xi+yj+zk}
x,y,z,w为实数,这就是quaternion。
x,y,z,w为复数,这是bi-quaternion,或者是complext quaternion:。它又等于Cl2(C)或者Cl3,0(R)。
x,y,z,w还可以为split-complex number,也就是x=a+bj,但是j2=1而不是-1。这个split-complex number和complex number不一样,不构成一个域,而是一个环。这样扩展的quaternion叫split-biquaternion,又等于Cl0,3(R),还等于两个copy的quaternion的direct sum。
x,y,z,w还可以为dual number,x=a+bε,ε2=0。这个也不是域,而是环。这样扩展的quaternion叫dual quaternion。
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Re: Clifford algebra继续讨论
quaternion往上,有两类扩展方法。可以扩展为Clifford algebra (associative),也可以扩展为division algebra(不一定associative),比如octonion.
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Re: Clifford algebra继续讨论
Clifford algebra的表示很简单,Weyl–Brauer matrices,感觉冗余很大啊:
https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl–Brauer_matrices
https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl–Brauer_matrices
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Re: Clifford algebra继续讨论
这个同构并不容易。想了一些时间,没想出来。后来发现wiki上就有。
这都是inverse problem - 正面推很容易,走哪算哪,停下来叫你反过来推,很难。
首先,Cl0,3(R) 同构于 H \tensor D,这个又叫split-biquaternion。
其中H是由{1,e1,e2,e1e2}组成的subalgebra。而D是由{1,ω=e1e2e3}组成的subspace或subalgebra。这个D又叫split-complex number,由形如x+yω的元素组成,这是一个ring,但不构成field。
然后H \tensor D同构于 H + H:
https://en.wikipedia.org/wiki/Split-biquaternion