Clifford algebra继续讨论

[FoxMe]

norm应该有乘性吗？

对quaternion成立。

[TheMatrix]

Cl_0,3(R)同构于两个quaternion direct sum。不知道怎么同构的。

[TheMatrix]

Cl_0,3(R)同构于两个quaternion direct sum。不知道怎么同构的。

看来这个quaternion有好几种扩展啊：
{w+xi+yj+zk}

x,y,z,w为实数，这就是quaternion。

x,y,z,w为复数，这是bi-quaternion，或者是complext quaternion：。它又等于Cl₂(C)或者Cl_3,0(R)。

x,y,z,w还可以为split-complex number，也就是x=a+bj，但是j²=1而不是-1。这个split-complex number和complex number不一样，不构成一个域，而是一个环。这样扩展的quaternion叫split-biquaternion，又等于Cl_0,3(R)，还等于两个copy的quaternion的direct sum。

x,y,z,w还可以为dual number，x=a+bε，ε²=0。这个也不是域，而是环。这样扩展的quaternion叫dual quaternion。

[FoxMe]

quaternion往上，有两类扩展方法。可以扩展为Clifford algebra （associative）,也可以扩展为division algebra（不一定associative）,比如octonion.

[FoxMe]

Clifford algebra的表示很简单，Weyl–Brauer matrices，感觉冗余很大啊：

https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl–Brauer_matrices

[TheMatrix]

Cl_0,3(R)同构于两个quaternion direct sum。不知道怎么同构的。

这个同构并不容易。想了一些时间，没想出来。后来发现wiki上就有。

这都是inverse problem - 正面推很容易，走哪算哪，停下来叫你反过来推，很难。

首先，Cl_0,3(R) 同构于 H \tensor D，这个又叫split-biquaternion。

其中H是由{1,e₁,e₂,e₁e₂}组成的subalgebra。而D是由{1,ω=e₁e₂e₃}组成的subspace或subalgebra。这个D又叫split-complex number，由形如x+yω的元素组成，这是一个ring，但不构成field。

然后H \tensor D同构于 H + H：



https://en.wikipedia.org/wiki/Split-biquaternion