为什么是不可约表示

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版主: verdeliteTlexander

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为什么是不可约表示

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物理体系,不是数学的问题,也不是一两个定律的问题,是一套解释体系的问题。比如牛顿力学,f=ma,光知道这个没用。一整套解释体系,解出来怎么解释,代表什么。这是牛顿力学的整个框架,都知道了才有用。

群的不可约表示为什么代表了粒子?这句话什么意思?可约表示不行吗?什么群?

这个我也处在半懂不懂之间。
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Re: 为什么是不可约表示

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这个科普或教科书很少见说的明白的。可能都默认读者水平高。
从一无所知入手:
首先量子力学假定物质状态是希尔伯特空间的矢量(就不严谨说射线什么了)--这是出于物理学家信念,不是逻辑必然。 而数学上量子力学里的希尔伯特空间一定有可数正交基。 所以所有的东西都是phi_n,n是基底标记。点粒子就是phi_n = phi_n(t,x), 一个时空标记(t,x)。 注意这里内部空间标记n是没限制的。 一般人不想这个n,就是n=1,粒子没有内部结构; 或者混淆内部空间和外部时空, 做个简单同构n=3. 但量子力学允许更多可能。

那么如果给理论硬加个对称性要求(这也是出于物理学家信念,不是逻辑必然),这个态矢量phi_n要求在对称群作用下协变,它又在线性空间里,自然是这个群群表示空间的元素。--不可约的要求是平凡的,因为可约的话可以分开要求,就不是“基本”粒子了。

所以完整着说是:基本粒子的态矢量是群的不可约表示空间的元素。(这好像只是个充分条件,但照着后者去找前者也都找到了才是amazing)

注意到这些物理学家都是大胆假设,信念飞跃,不是按逻辑推理的。
上次由 rgg 在 3月 26, 2023, 11:53 am,总共编辑 4 次。
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Re: 为什么是不可约表示

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TheMatrix 写了: 3月 26, 2023, 11:12 am 物理体系,不是数学的问题,也不是一两个定律的问题,是一套解释体系的问题。比如牛顿力学,f=ma,光知道这个没用。一整套解释体系,解出来怎么解释,代表什么。这是牛顿力学的整个框架,都知道了才有用。

群的不可约表示为什么代表了粒子?这句话什么意思?可约表示不行吗?什么群?

这个我也处在半懂不懂之间。
我觉得你若对这个有兴趣,应该从物理入手,而不是从数学入手。先有物理,后有数学。
没有光子;也没有量子能级,量子跃迁,量子叠加,量子塌缩和量子纠缠。
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Re: 为什么是不可约表示

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verdelite 写了: 3月 26, 2023, 11:45 am 我觉得你若对这个有兴趣,应该从物理入手,而不是从数学入手。先有物理,后有数学。
从哪里入手我不挑,只希望最省力。
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Re: 为什么是不可约表示

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关于这个内部空间的维数,上面是直接从线性代数角度说的。从微分方程的解出发解释,就是:薛定谔方程假设有一个解,那么坐标旋转一下,问把原来的解直接坐标相应变换,还是不是原来的解? 硬要要求是的,就是n=1. 原来的解可以拆分成n个部分的和,坐标旋转后,这n个部分按一定的组合就还是原方程的解,就是有内部空间维数n的情形。n没必要等于1或3.
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Re: 为什么是不可约表示

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rgg 写了: 3月 26, 2023, 11:45 am 这个科普或教科书很少见说的明白的。可能都默认读者水平高。
从一无所知入手:
首先量子力学假定物质状态是希尔伯特空间的矢量(就不严谨说射线什么了)--这是出于物理学家信念,不是逻辑必然。 而数学上量子力学里的希尔伯特空间一定有可数正交基。 所以所有的东西都是phi_n,n是基底标记。点粒子就是phi_n = phi_n(t,x), 一个时空标记(t,x)。 注意这里内部空间标记n是没限制的。 一般人不想这个n,就是n=1,粒子没有内部结构; 或者混淆内部空间和外部时空, 做个简单同构n=3. 但量子力学允许更多可能。

那么如果给理论硬加个对称性要求(这也是出于物理学家信念,不是逻辑必然),这个态矢量phi_n要求在对称群作用下协变,它又在线性空间里,自然是这个群群表示空间的元素。--不可约的要求是平凡的,因为可约的话可以分开要求,就不是“基本”粒子了。

所以完整着说是:基本粒子的态矢量是群的不可约表示空间的元素。(这好像只是个充分条件,但照着后者去找前者也都找到了才是amazing)

注意到这些物理学家都是大胆假设,信念飞跃,不是按逻辑推理的。
信息量很大。

我先问一个问题。对称群,我用SO(3)举例可不可以?还是一定要用lorentz group?我对lorentz group有点怕,没有感性认识。SO(3),或者它的Lie algebra so(3),我查了一下,每一个维度都有一个不可约表示。比如说二维吧,这个对应于spin 1/2:m={-1/2,1/2}。那么态矢量空间只有二维啊。你怎么说phi_n(t,x),n可以任意多呢?
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Re: 为什么是不可约表示

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TheMatrix 写了: 3月 26, 2023, 12:20 pm 信息量很大。

我先问一个问题。对称群,我用SO(3)举例可不可以?还是一定要用lorentz group?我对lorentz group有点怕,没有感性认识。SO(3),或者它的Lie algebra so(3),我查了一下,每一个维度都有一个不可约表示。比如说二维吧,这个对应于spin 1/2:m={-1/2,1/2}。那么态矢量空间只有二维啊。你怎么说phi_n(t,x),n可以任意多呢?
是说没看对称性之前,只有一个希尔伯特空间的假设。这个空间太大了。看了之后那是第二点,就限制下来了。
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Re: 为什么是不可约表示

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rgg 写了: 3月 26, 2023, 12:24 pm 是说没看对称性之前,只有一个希尔伯特空间的假设。这个空间太大了。看了之后那是第二点,就限制下来了。
谢谢。你这个说的希尔伯特空间,是量子力学公理化抽象的希尔伯特空间,还是具体的薛定谔方程 -idtψ=Hψ里面ψ所在的希尔伯特空间?因为我觉得ψ所在的这个希尔伯特空间,维度降不下来啊,它怎么都是可数无穷维啊。
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Re: 为什么是不可约表示

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TheMatrix 写了: 3月 26, 2023, 12:36 pm 谢谢。你这个说的希尔伯特空间,是量子力学公理化抽象的希尔伯特空间,还是具体的薛定谔方程 -idtψ=Hψ里面ψ所在的希尔伯特空间?因为我觉得ψ所在的这个希尔伯特空间,维度降不下来啊,它怎么都是可数无穷维啊。
这俩是一回事吧。代数上是不管基底到底是什么,只把系数写出来;从偏微分方程说就是把基底也写出来,就是特殊函数的组合。例如1/2自旋的spinor写成代数形式就两维复矢量,连基底一块写出来就是俩球谐函数的线性组合。

无穷维可以分成不可约表示的直和,说的是这个不可约表示可以从最小维数一个个研究过来。
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Re: 为什么是不可约表示

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rgg 写了: 3月 26, 2023, 7:11 pm 这俩是一回事吧。代数上是不管基底到底是什么,只把系数写出来;从偏微分方程说就是把基底也写出来,就是特殊函数的组合。例如1/2自旋的spinor写成代数形式就两维复矢量,连基底一块写出来就是俩球谐函数的线性组合。

无穷维可以分成不可约表示的直和,说的是这个不可约表示可以从最小维数一个个研究过来。
谢谢。第一段我有点明白,还需要再理解理解。

第二段不明白。无穷维可以分解成不可约表示的直和?
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Re: 为什么是不可约表示

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有道理。
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