我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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比如有8个变量x1,x2,...,x8的方程:

√x1+√x2+√x3+√x4+√x5+√x6+√x7+√x8=a

怎么变换能够完全去根号?
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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√xi = yi?
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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(ヅ) 写了: 5月 21, 2023, 4:26 pm √xi = yi?
这好像不是我想要的东西。

我想要啥呢?怎么去根号。比如说:

√x+√y=a
<--> x+y+2√xy=a2
<--> 2√xy=a2-(x+y)
<--> 4xy=(a2-(x+y))2

这样就完全没有根号了。

这个应该和algebraic number的minimal polynomial有点类似。
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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TheMatrix 写了: 5月 21, 2023, 5:15 pm 这好像不是我想要的东西。

我想要啥呢?怎么去根号。比如说:

√x+√y=a
<--> x+y+2√xy=a2
<--> 2√xy=a2-(x+y)
<--> 4xy=(a2-(x+y))2

这样就完全没有根号了。

这个应该和algebraic number的minimal polynomial有点类似。
这第一个就不是等价关系吧

x = y = -1, x+y +2√xy = 0
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

帖子 TheMatrix楼主 »

(ヅ) 写了: 5月 21, 2023, 8:15 pm 这第一个就不是等价关系吧

x = y = -1, x+y +2√xy = 0
对。不是等价,就是能继续往下推,把根号去掉。应该是超集。
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

帖子 TheMatrix楼主 »

TheMatrix 写了: 5月 21, 2023, 5:15 pm 这好像不是我想要的东西。

我想要啥呢?怎么去根号。比如说:

√x+√y=a
<--> x+y+2√xy=a2
<--> 2√xy=a2-(x+y)
<--> 4xy=(a2-(x+y))2

这样就完全没有根号了。

这个应该和algebraic number的minimal polynomial有点类似。
不要说8个了,4个我就去不了。

3个能去,比如这样的:√x1+√x2+√x3=a
<--> √x1+√x2=a-√x3
<--> x1+x2+2√x1√x2=a2+x3-2a√x3
<--> 2√x1√x2+2a√x3=a2-(x1+x2)
<--> 4x1x2+4a2x3+8a√x1√x2√x3=(a2-(x1+x2))2
<--> 64a2x1x2x3=((a2-(x1+x2))2-(4x1x2+4a2x3))2

但是再加一个就不好去了:√x1+√x2+√x3+√x4=a
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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TheMatrix 写了: 5月 22, 2023, 8:41 am 不要说8个了,4个我就去不了。

3个能去,比如这样的:√x1+√x2+√x3=a
<--> √x1+√x2=a-√x3
<--> x1+x2+2√x1√x2=a2+x3-2a√x3
<--> 2√x1√x2+2a√x3=a2-(x1+x2)
<--> 4x1x2+4a2x3+8a√x1√x2√x3=(a2-(x1+x2))2
<--> 64a2x1x2x3=((a2-(x1+x2))2-(4x1x2+4a2x3))2

但是再加一个就不好去了:√x1+√x2+√x3+√x4=a
4个也不难,因为只要是(√ + √)^2 就把两个√减少一个

等号左右两边各放一对,就把4个√变成2个,再按2个处理

(√ + √ + √)^2并不减少√数量,还是3个

5个的话,用2√ = 3√,先消掉一边,变成1√ = 3√,再写成2√ = 2√处理

6个就不知道了
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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(ヅ) 写了: 5月 22, 2023, 9:46 am 4个也不难,因为只要是(√ + √)^2 就把两个√减少一个

等号左右两边各放一对,就把4个√变成2个,再按2个处理

(√ + √ + √)^2并不减少√数量,还是3个

5个的话,用2√ = 3√,先消掉一边,变成1√ = 3√,再写成2√ = 2√处理

6个就不知道了
4个不行啊。左边放两个根号,平方之后剩一个。右边放两个根号,但是还有一个常数项啊,平方之后变3个根号了。左右两边加起来还是4个根号,没减少啊。
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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TheMatrix 写了: 5月 22, 2023, 9:54 am 4个不行啊。左边放两个根号,平方之后剩一个。右边放两个根号,但是还有一个常数项啊,平方之后变3个根号了。左右两边加起来还是4个根号,没减少啊。
属实,瞎算一通算错了
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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TheMatrix 写了: 5月 21, 2023, 11:34 am 比如有8个变量x1,x2,...,x8的方程:

√x1+√x2+√x3+√x4+√x5+√x6+√x7+√x8=a

怎么变换能够完全去根号?
泰勒展开?
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

帖子 TheMatrix楼主 »

test2020 写了: 5月 23, 2023, 1:23 pm 泰勒展开?
想不出泰勒展开对这个会有帮助。

这个问题我查了一下,完全一般的找minimal polynomial的方法没有。但是全是square root的,有可能有。不知道。

这个问题在computer algebra里是需要的。

环和域的基本理论里也有这个东西:假设两个数(a,b),both integral/algebraic over R/F, 那么a+b和a*b都integral/algebraic over R/F。也就是说the set of integral/algebraic elements构成环。听起来很innocent的一个定理,我记得当时我想证明就证不了,后来发现相当不容易。而且好像不是构造性的证明,否则这个问题就解决了。
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

帖子 test2020 »

TheMatrix 写了: 5月 23, 2023, 4:06 pm 想不出泰勒展开对这个会有帮助。

这个问题我查了一下,完全一般的找minimal polynomial的方法没有。但是全是square root的,有可能有。不知道。

这个问题在computer algebra里是需要的。

环和域的基本理论里也有这个东西:假设两个数(a,b),both integral/algebraic over R/F, 那么a+b和a*b都integral/algebraic over R/F。也就是说the set of integral/algebraic elements构成环。听起来很innocent的一个定理,我记得当时我想证明就证不了,后来发现相当不容易。而且好像不是构造性的证明,否则这个问题就解决了。
就是想说用数值的方法解决你的问题。不懂环和域。我的数学水平只到物理类高数
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

帖子 TheMatrix楼主 »

TheMatrix 写了: 5月 22, 2023, 8:41 am 不要说8个了,4个我就去不了。

3个能去,比如这样的:√x1+√x2+√x3=a
<--> √x1+√x2=a-√x3
<--> x1+x2+2√x1√x2=a2+x3-2a√x3
<--> 2√x1√x2+2a√x3=a2-(x1+x2)
<--> 4x1x2+4a2x3+8a√x1√x2√x3=(a2-(x1+x2))2
<--> 64a2x1x2x3=((a2-(x1+x2))2-(4x1x2+4a2x3))2

但是再加一个就不好去了:√x1+√x2+√x3+√x4=a
嗯。全都是平方根的是可以的。因为多项和平方之后仍然有平方根的是交叉项,而且每个symbol最高只能是一次幂。所以可以一个√symbol一个√symbol的去掉。比如已经平方过很多次后,在某一步,要去掉√x1 symbol,那就把带√x1的项合并把√x1 factor出来。然后挪到等式另一边单独存在,然后再平方,那么√x1就没了。
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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TheMatrix 写了: 5月 25, 2023, 12:00 pm 嗯。全都是平方根的是可以的。因为多项和平方之后仍然有平方根的是交叉项,而且每个symbol最高只能是一次幂。所以可以一个√symbol一个√symbol的去掉。比如已经平方过很多次后,在某一步,要去掉√x1 symbol,那就把带√x1的项合并把√x1 factor出来。然后挪到等式另一边单独存在,然后再平方,那么√x1就没了。
这不跟我之前说的一样的错误吗?

右边√y, √z没了,但是跑出来√xy,数量更多,C(n-1,2)个 (记原式n个变量)
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

帖子 TheMatrix楼主 »

(ヅ) 写了: 5月 25, 2023, 12:04 pm 这不跟我之前说的一样的错误吗?

右边√y, √z没了,但是跑出来√xy,数量更多,C(n-1,2)个 (记原式n个变量)
很多是平方根相乘项,可以再把某个想去掉的平方根变量factor出来,单独放在一边,再平方不就消掉了吗?相乘项不怕,变量数越来越少。
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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TheMatrix 写了: 5月 25, 2023, 12:09 pm 很多是平方根相乘项,可以再把某个想去掉的平方根变量factor出来,单独放在一边,再平方不就消掉了吗?相乘项不怕,变量数越来越少。
5变量的你试试?
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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(ヅ) 写了: 5月 25, 2023, 12:11 pm 5变量的你试试?
好的。我一会试试。
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

帖子 TheMatrix楼主 »

(ヅ) 写了: 5月 25, 2023, 12:11 pm 5变量的你试试?
√x1+√x2+√x3+√x4+√x5=a

去√x1:
√x1=a-(√x2+√x3+√x4+√x5)
x1=a2-2√x2√x3-2√x2√x4-2√x2√x5-...

去√x2
2√x2(√x3+√x4+√x5)=a3+(square root terms only in x3,x4,x5)
两边平方就可以去掉√x2

去√x3
。。。
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Re: 我出个题吧:平方根方程去根号的方法

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TheMatrix 写了: 5月 25, 2023, 12:38 pm √x1+√x2+√x3+√x4+√x5=a

去√x1:
√x1=a-(√x2+√x3+√x4+√x5)
x1=a2-2√x2√x3-2√x2√x4-2√x2√x5-...

去√x2
2√x2(√x3+√x4+√x5)=a3+(square root terms only in x3,x4,x5)
两边平方就可以去掉√x2

去√x3
。。。
看起来可行
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