我出个题吧：平方根方程去根号的方法

[TheMatrix]

比如有8个变量x₁,x₂,...,x₈的方程：

√x₁+√x₂+√x₃+√x₄+√x₅+√x₆+√x₇+√x₈=a

怎么变换能够完全去根号？

[（ヅ）]

√xi = yi?

[TheMatrix]

√xi = yi?

这好像不是我想要的东西。

我想要啥呢？怎么去根号。比如说：

√x+√y=a
<--> x+y+2√xy=a²
<--> 2√xy=a²-(x+y)
<--> 4xy=(a²-(x+y))²

这样就完全没有根号了。

这个应该和algebraic number的minimal polynomial有点类似。

[（ヅ）]

这好像不是我想要的东西。

我想要啥呢？怎么去根号。比如说：

√x+√y=a
<--> x+y+2√xy=a²
<--> 2√xy=a²-(x+y)
<--> 4xy=(a²-(x+y))²

这样就完全没有根号了。

这个应该和algebraic number的minimal polynomial有点类似。

这第一个就不是等价关系吧

x = y = -1, x+y +2√xy = 0

[TheMatrix]

这第一个就不是等价关系吧

x = y = -1, x+y +2√xy = 0

对。不是等价，就是能继续往下推，把根号去掉。应该是超集。

[TheMatrix]

这好像不是我想要的东西。

我想要啥呢？怎么去根号。比如说：

√x+√y=a
<--> x+y+2√xy=a²
<--> 2√xy=a²-(x+y)
<--> 4xy=(a²-(x+y))²

这样就完全没有根号了。

这个应该和algebraic number的minimal polynomial有点类似。

不要说8个了，4个我就去不了。

3个能去，比如这样的：√x₁+√x₂+√x₃=a
<--> √x₁+√x₂=a-√x₃
<--> x₁+x₂+2√x₁√x₂=a²+x₃-2a√x₃
<--> 2√x₁√x₂+2a√x₃=a²-(x₁+x₂)
<--> 4x₁x₂+4a²x₃+8a√x₁√x₂√x₃=(a²-(x₁+x₂))²
<--> 64a²x₁x₂x₃=((a²-(x₁+x₂))²-(4x₁x₂+4a²x₃))²

但是再加一个就不好去了：√x₁+√x₂+√x₃+√x₄=a

[（ヅ）]

不要说8个了，4个我就去不了。

3个能去，比如这样的：√x₁+√x₂+√x₃=a
<--> √x₁+√x₂=a-√x₃
<--> x₁+x₂+2√x₁√x₂=a²+x₃-2a√x₃
<--> 2√x₁√x₂+2a√x₃=a²-(x₁+x₂)
<--> 4x₁x₂+4a²x₃+8a√x₁√x₂√x₃=(a²-(x₁+x₂))²
<--> 64a²x₁x₂x₃=((a²-(x₁+x₂))²-(4x₁x₂+4a²x₃))²

但是再加一个就不好去了：√x₁+√x₂+√x₃+√x₄=a

4个也不难，因为只要是(√ + √)^2 就把两个√减少一个

等号左右两边各放一对，就把4个√变成2个，再按2个处理

(√ + √ + √)^2并不减少√数量，还是3个

5个的话，用2√ = 3√，先消掉一边，变成1√ = 3√，再写成2√ = 2√处理

6个就不知道了

[TheMatrix]

4个也不难，因为只要是(√ + √)^2 就把两个√减少一个

等号左右两边各放一对，就把4个√变成2个，再按2个处理

(√ + √ + √)^2并不减少√数量，还是3个

5个的话，用2√ = 3√，先消掉一边，变成1√ = 3√，再写成2√ = 2√处理

6个就不知道了

4个不行啊。左边放两个根号，平方之后剩一个。右边放两个根号，但是还有一个常数项啊，平方之后变3个根号了。左右两边加起来还是4个根号，没减少啊。

[（ヅ）]

4个不行啊。左边放两个根号，平方之后剩一个。右边放两个根号，但是还有一个常数项啊，平方之后变3个根号了。左右两边加起来还是4个根号，没减少啊。

属实，瞎算一通算错了

[test2020]

比如有8个变量x₁,x₂,...,x₈的方程：

√x₁+√x₂+√x₃+√x₄+√x₅+√x₆+√x₇+√x₈=a

怎么变换能够完全去根号？

泰勒展开？

[TheMatrix]

泰勒展开？

想不出泰勒展开对这个会有帮助。

这个问题我查了一下，完全一般的找minimal polynomial的方法没有。但是全是square root的，有可能有。不知道。

这个问题在computer algebra里是需要的。

环和域的基本理论里也有这个东西：假设两个数(a,b)，both integral/algebraic over R/F, 那么a+b和a*b都integral/algebraic over R/F。也就是说the set of integral/algebraic elements构成环。听起来很innocent的一个定理，我记得当时我想证明就证不了，后来发现相当不容易。而且好像不是构造性的证明，否则这个问题就解决了。

[test2020]

想不出泰勒展开对这个会有帮助。

这个问题我查了一下，完全一般的找minimal polynomial的方法没有。但是全是square root的，有可能有。不知道。

这个问题在computer algebra里是需要的。

环和域的基本理论里也有这个东西：假设两个数(a,b)，both integral/algebraic over R/F, 那么a+b和a*b都integral/algebraic over R/F。也就是说the set of integral/algebraic elements构成环。听起来很innocent的一个定理，我记得当时我想证明就证不了，后来发现相当不容易。而且好像不是构造性的证明，否则这个问题就解决了。

就是想说用数值的方法解决你的问题。不懂环和域。我的数学水平只到物理类高数

[TheMatrix]

不要说8个了，4个我就去不了。

3个能去，比如这样的：√x₁+√x₂+√x₃=a
<--> √x₁+√x₂=a-√x₃
<--> x₁+x₂+2√x₁√x₂=a²+x₃-2a√x₃
<--> 2√x₁√x₂+2a√x₃=a²-(x₁+x₂)
<--> 4x₁x₂+4a²x₃+8a√x₁√x₂√x₃=(a²-(x₁+x₂))²
<--> 64a²x₁x₂x₃=((a²-(x₁+x₂))²-(4x₁x₂+4a²x₃))²

但是再加一个就不好去了：√x₁+√x₂+√x₃+√x₄=a

嗯。全都是平方根的是可以的。因为多项和平方之后仍然有平方根的是交叉项，而且每个symbol最高只能是一次幂。所以可以一个√symbol一个√symbol的去掉。比如已经平方过很多次后，在某一步，要去掉√x₁ symbol，那就把带√x₁的项合并把√x₁ factor出来。然后挪到等式另一边单独存在，然后再平方，那么√x₁就没了。

[（ヅ）]

嗯。全都是平方根的是可以的。因为多项和平方之后仍然有平方根的是交叉项，而且每个symbol最高只能是一次幂。所以可以一个√symbol一个√symbol的去掉。比如已经平方过很多次后，在某一步，要去掉√x₁ symbol，那就把带√x₁的项合并把√x₁ factor出来。然后挪到等式另一边单独存在，然后再平方，那么√x₁就没了。

这不跟我之前说的一样的错误吗？

右边√y, √z没了，但是跑出来√xy,数量更多,C(n-1,2)个 (记原式n个变量)

[TheMatrix]

这不跟我之前说的一样的错误吗？

右边√y, √z没了，但是跑出来√xy,数量更多,C(n-1,2)个 (记原式n个变量)

很多是平方根相乘项，可以再把某个想去掉的平方根变量factor出来，单独放在一边，再平方不就消掉了吗？相乘项不怕，变量数越来越少。

[（ヅ）]

很多是平方根相乘项，可以再把某个想去掉的平方根变量factor出来，单独放在一边，再平方不就消掉了吗？相乘项不怕，变量数越来越少。

5变量的你试试？

[TheMatrix]

5变量的你试试？

好的。我一会试试。

[TheMatrix]

5变量的你试试？

√x₁+√x₂+√x₃+√x₄+√x₅=a

去√x₁:
√x₁=a-(√x₂+√x₃+√x₄+√x₅)
x₁=a₂-2√x₂√x₃-2√x₂√x₄-2√x₂√x₅-...

去√x₂：
2√x₂(√x₃+√x₄+√x₅)=a₃+(square root terms only in x3,x4,x5)
两边平方就可以去掉√x₂。

去√x₃：
。。。

[（ヅ）]

√x₁+√x₂+√x₃+√x₄+√x₅=a

去√x₁:
√x₁=a-(√x₂+√x₃+√x₄+√x₅)
x₁=a₂-2√x₂√x₃-2√x₂√x₄-2√x₂√x₅-...

去√x₂：
2√x₂(√x₃+√x₄+√x₅)=a₃+(square root terms only in x3,x4,x5)
两边平方就可以去掉√x₂。

去√x₃：
。。。

看起来可行