我有几个问题,好像都差不多,这个地方有点糊涂:
1,两个曲线E1和E2,如果isogenous的话。torsion point一定映射到torsion point上。对吧?那么对应点order是相同的吗?两个曲线rank也相同吗?
2,假如两个曲线,rank不相同,它们之间能有isogeny吗?
3,两个曲线,有isogeny的话,一定有isomorphism吗?
版主: verdelite, Tlexander
我有几个问题,好像都差不多,这个地方有点糊涂:
我现在有一个推理把我绕糊涂了。我说一下你看看:FoxMe 写了: ↑2023年 10月 15日 17:43 1,两个曲线E1和E2,如果isogenous的话。torsion point一定映射到torsion point上。对吧?那么对应点order是相同的吗?两个曲线rank也相同吗?
isogeny是群同态,如果a是整数,那么phi(ax)=a phi(x),所以它们的order相同。isogeny是(有限)多对一,对Z-模rank没有影响,所以rank也相同。
2,假如两个曲线,rank不相同,它们之间能有isogeny吗?
应该不能。
3,两个曲线,有isogeny的话,一定有isomorphism吗?
两条曲线之间的isogeny构成一个加法群,不见得有isomorphism.
这个肯定是不对的。因为考虑 y2=x(x-1)(x+1)这个椭圆曲线。曲线和x轴的三个交点,都是torsion order为2的点。在[2]下映射到0。再加上0自己,[2]这个映射的kernel为4个。TheMatrix 写了: ↑2023年 10月 15日 20:53 我现在有一个推理把我绕糊涂了。我说一下你看看:
假如只考虑同一个椭圆曲线E/Q。根据Mordell定理,它是finitely generated。所以torsion points,也是torsion subgroup,为有限。
现在考虑乘以2这个isogeny,这是自映射,表示为[2]。也就是[2](x)=2x=x+x。
在这个映射下,torsion points一定映射到torsion points。非torsion points一定映射到非torsion points。
也就是在[2]这个自映射下,torsion subgroup映射到自己,而且是一个满射,这是因为:
1,非torsion points不能映射到torsion points。
2,整个这个映射 [2]: E --> E 是满射 - 因为一个isogeny,如果不是全部映射到0点的话,那么一定是满射 - 这是一个定理。
也就是说,[2]这个自映射,从torsion subgroup来看,是满射,所以kernel为0,所以也是单射。
所以整个这个 [2]: E --> E,也是单射 - 因为kernel为0。前面说了,它又是一个满射。所以这是一个一一映射。
所以[2]是一个automorphism啊。这个推理有问题吗?
这个推理感觉是对的。TheMatrix 写了: ↑2023年 10月 15日 20:53 我现在有一个推理把我绕糊涂了。我说一下你看看:
假如只考虑同一个椭圆曲线E/Q。根据Mordell定理,它是finitely generated。所以torsion points,也是torsion subgroup,为有限。
现在考虑乘以2这个isogeny,这是自映射,表示为[2]。也就是[2](x)=2x=x+x。
在这个映射下,torsion points一定映射到torsion points。非torsion points一定映射到非torsion points。
也就是在[2]这个自映射下,torsion subgroup映射到自己,而且是一个满射,这是因为:
1,非torsion points不能映射到torsion points。
2,整个这个映射 [2]: E --> E 是满射 - 因为一个isogeny,如果不是全部映射到0点的话,那么一定是满射 - 这是一个定理。
也就是说,[2]这个自映射,从torsion subgroup来看,是满射,所以kernel为0,所以也是单射。
所以整个这个 [2]: E --> E,也是单射 - 因为kernel为0。前面说了,它又是一个满射。所以这是一个一一映射。
所以[2]是一个automorphism啊。这个推理有问题吗?
[2]是一一映射的话,TheMatrix 写了: ↑2023年 10月 16日 19:44 这个推理感觉是对的。
倍乘自映射应该都是这样的。比如[2],如果不是trivial map,也就是constant map,也就是全部映射到O,那么它就一定是满射。而是满射的话,torsion subgroup和非torsion subgroup分别都是满射。而torsion subgroup为有限,满射即单射。所以O到O,kernel为O。而非torsion元素不能映射到O。所以整个自映射为单射。既为满射又为单射,也就是一一映射。
所以倍乘映射只有两种情况:trivial映射和一一映射。这对于我还是很惊讶的。
比如
y2=x3-x+4
有一个整数解
P=(0,2)。
2P=[4,-127,64],这是齐次坐标,也就是第三个数是公分母:2P=(4/64,-127/64)。
这说明对于这个椭圆曲线,[2]不是trivial map,因为2P != O。所以一定是一一映射。
好像不对。
有了这个定理,再加上[m],也就是倍乘map是isogeny的话,就能推出好多东西,而且好像不太对。还要再加上椭圆曲线over number field,这样可以用Mordell定理:
这个推理的错误找出来了:2y=x中的y,是非torsion point不假,但是没有y=mx for some integer m,因为它们可能是不同方向的。
这都是错的。倍乘映射不可能是trivial map,这是个定理。也不是一一映射。这也是定理。哦对了,E[m]就是[m]的kernel。TheMatrix 写了: ↑2023年 10月 16日 19:44 这个推理感觉是对的。
倍乘自映射应该都是这样的。比如[2],如果不是trivial map,也就是constant map,也就是全部映射到O,那么它就一定是满射。而是满射的话,torsion subgroup和非torsion subgroup分别都是满射。而torsion subgroup为有限,满射即单射。所以O到O,kernel为O。而非torsion元素不能映射到O。所以整个自映射为单射。既为满射又为单射,也就是一一映射。
所以倍乘映射只有两种情况:trivial映射和一一映射。这对于我还是很惊讶的。
比如
y2=x3-x+4
有一个整数解
P=(0,2)。
2P=[4,-127,64],这是齐次坐标,也就是第三个数是公分母:2P=(4/64,-127/64)。
这说明对于这个椭圆曲线,[2]不是trivial map,因为2P != O。所以一定是一一映射。
非torsion points不构成subgroup。但是非torsion points在倍乘映射下一定映射到非torsion points,这好像还是对的。TheMatrix 写了: ↑2023年 10月 15日 20:53 我现在有一个推理把我绕糊涂了。我说一下你看看:
假如只考虑同一个椭圆曲线E/Q。根据Mordell定理,它是finitely generated。所以torsion points,也是torsion subgroup,为有限。
现在考虑乘以2这个isogeny,这是自映射,表示为[2]。也就是[2](x)=2x=x+x。
在这个映射下,torsion points一定映射到torsion points。非torsion points一定映射到非torsion points。
也就是在[2]这个自映射下,torsion subgroup映射到自己,而且是一个满射,这是因为:
1,非torsion points不能映射到torsion points。
2,整个这个映射 [2]: E --> E 是满射 - 因为一个isogeny,如果不是全部映射到0点的话,那么一定是满射 - 这是一个定理。
也就是说,[2]这个自映射,从torsion subgroup来看,是满射,所以kernel为0,所以也是单射。
所以整个这个 [2]: E --> E,也是单射 - 因为kernel为0。前面说了,它又是一个满射。所以这是一个一一映射。
所以[2]是一个automorphism啊。这个推理有问题吗?