求级数

[TheMatrix]

Σⁿ_k=2Σ^∞_m=1 1/(m*k^m)

[TheMatrix]

Σⁿ_k=2Σ^∞_m=1 1/(m*k^m)

这个结果是ln(n)。

参照了ln(1-x)的展开方法。

start with
1/(1-x)=1+x+x²+x³+…

有
1/(n-x)
=(1/n)(1/(1-x/n))
=(1/n)(1+x/n+x²/n²+…)
=1/n+x/n²+x²/n³+…

两边积分，求定积分，从0到x，再代入x=1，或者直接定积分从0到1，得：

ln(n)-ln(n-1)=1/n+1/(2n²)+1/(3n³)+…

用这个公式一直算到ln(2)-ln(1)，然后全部加起来，中间项互相cancel，得到

ln(n)= Σⁿ_k=2Σ^∞_m=1 1/(m*k^m)

这个级数是绝对收敛的。

[（ヅ）]

这俩级数的积分收不收敛要好好考虑下哎

[follett]

这个公式，使用Wolfram的Mathmatica软件，能推导出来吧？～

Wolfram现在部分产品与ChatGPT接口了，说不定通过语言描述，就能让Mathematica给出该级数公式的答案了。

[TheMatrix]

Σⁿ_k=2Σ^∞_m=1 1/(m*k^m)

ln(n)= Σⁿ_k=2Σ^∞_m=1 1/(m*k^m)
积分换一下序，先对k求和，然后让n --> ∞。

注意到里面有zeta函数，有harmonic number，有ln(n)，得到：
1-γ = Σ^∞_n=2 (ζ(n)-1)/n

其中ζ是zeta函数，γ是Euler constant = (1+1/2+...+1/n)-ln(n) 的极限。

[TheMatrix]

ln(n)= Σⁿ_k=2Σ^∞_m=1 1/(m*k^m)
积分换一下序，先对k求和，然后让n --> ∞。

注意到里面有zeta函数，有harmonic number，有ln(n)，得到：
1-γ = Σ^∞_n=2 (ζ(n)-1)/n

其中ζ是zeta函数，γ是Euler constant = (1+1/2+...+1/n)-ln(n) 的极限。

这几个公式要是不找对路的话，也不容易证明。

反之，找对了路就特别容易 - 离base point只有几步路。

还有一个例子是zeta函数的integral representation：
ζ(s)=A(s)/Γ(s)，

其中Γ(s)是Gamma function，A(s)是和Γ(s)非常类似的一个积分。两者都可以通过Mellin Transform得到。Mellin Transform是 M(f)(s)=∫₀^∞f(x)x^s-1dx。那么，Γ(s)=M(1/e^x)，而A(s)=M(1/(e^x-1))。

我曾很长时间不知道这个公式(ζ(s)=A(s)/Γ(s))是怎么证明的。今天看了一下，简单得一塌糊涂。



还是这个特点：离base point没走几步路。

[TheMatrix]

这几个公式要是不找对路的话，也不容易证明。

反之，找对了路就特别容易 - 离base point只有几步路。

还有一个例子是zeta函数的integral representation：
ζ(s)=A(s)/Γ(s)，

其中Γ(s)是Gamma function，A(s)是和Γ(s)非常类似的一个积分。两者都可以通过Mellin Transform得到。Mellin Transform是 M(f)(s)=∫₀^∞f(x)x^s-1dx。那么，Γ(s)=M(1/e^x)，而A(s)=M(1/(e^x-1))。

我曾很长时间不知道这个公式(ζ(s)=A(s)/Γ(s))是怎么证明的。今天看了一下，简单得一塌糊涂。



还是这个特点：离base point没走几步路。

虽然离base point没走几步路，但是没人指路的话，也不容易走。为什么呢？因为这个空间太大了，方向太多了。无穷维空间，not compact even locally。这么说吧，没有人指的话，一步都走不出去。

那第一个人是怎么走出去的呢？海边拾贝，完全的random。牛顿说他在海边拾贝的时候，就是这个意思。

也可以说是一种数学实验。跟超导材料的实验没什么区别：铜，钴，镍，铬，的配比，实验一下。

当然，要写实验报告。

更好的，是要把实验空间定义一下，charter一下，变成chartered map。- 这就是数学的理论部分。