出个和Langlands Program相关的题，下面的数列接下来十位分别是什么？

[FoxMe]

对，但感觉和数域上的L-function对不上了。数域上用的是adele，local field，到了variety怎么就变成有限域呢？

motivic L-function 就是可以看成是代数方程 modulo p 然后数解的个数而得到的 L-function 吧？

[TheMatrix]

对，但感觉和数域上的L-function对不上了。数域上用的是adele，local field，到了variety怎么就变成有限域呢？

有限域和local field我感觉都是为了研究代数方程modulo p的解。

这里有几个东西我也不能互相对的上：
adele and idele class group character - automorphic
ideal class group character - automorphic
代数方程modulo p解的个数 - motivic
local field - both?

[FoxMe]

我也有同感，为啥character - automorphic？

原来学的椭圆曲线，表示论都用上了。弄懂了椭圆曲线的情形，它的zeta function可以由代数方程modulo p解的个数定义，而automorphic这边说的是它是modular form。证明这个结论是数论中的一个巨大进展（modularity theorem），Wiles由此证明了费马大定理。我感觉并不令人吃惊，因为椭圆曲线这边有个格(lattice)，而modular form那边也有格(lattice)，两边刚好对上。但是character在哪里？

但是还远远不够，要把代数几何学完才行，我只学了variety, 还没学懂scheme。scheme这里感到吃力，spectrum, motive, cohomology等等都没有弄懂。代数几何里为啥有些简单的名词place, germ, stalk, sheaf等，很难懂。

举个例子，到底啥叫motive？

[TheMatrix]

我也有同感，为啥character - automorphic？

我也没有搞清楚，咱们随便聊聊。

Automorphic form，从定义来看，或者从modular form作为特殊的automorphic form来看，既要有一个空间，又要有一个group，作用在这个空间上。

而character是group上的函数，还要满足乘性，也就是一个homomorphism。

Dirichlet series Σ χ(n)/n^s，group是(Z/mZ)^x，character χ(n)是这个群上的满足乘性的函数 (extended to all Z₊)。空间，是Z₊？

Dedekind (Hecke/Tate) series Σ χ(I)/N(I)^s，group是ideal class group或者idele class group，character χ(I)是这个群上的函数 (extended to all ideals)。空间，是all ideals？

[TheMatrix]

原来学的椭圆曲线，表示论都用上了。弄懂了椭圆曲线的情形，它的zeta function可以由代数方程modulo p解的个数定义，而automorphic这边说的是它是modular form。证明这个结论是数论中的一个巨大进展（modularity theorem），Wiles由此证明了费马大定理。我感觉并不令人吃惊，因为椭圆曲线这边有个格(lattice)，而modular form那边也有格(lattice)，两边刚好对上。但是character在哪里？

Character应该是某group上的乘性函数。Elliptic curve/Modular form有两个group：一个是modular group，一个是Galois group。Modular group是elliptic curve或modular form格点变换群。Galois group是域扩展群。两个上都应该有乘性函数。都应该对应有L-function。