ideal class group的由来

[TheMatrix]

应该是这么回事：

1，Z作为principal ideal domain，有算数基本定理，也就是唯一分解为素数的性质。

2，在研究有理数域扩展的时候，也就是number field，发现算数基本定理不成立了，也就是不能唯一分解为素数了，但是有next best thing：一个number field的ring of integer，它的任意ideal可以唯一分解为prime ideal。这预示着要把ideal作为元素来研究，也就是要研究ideal的集合。

3，一个integral domain的ideal集合，上面可以很容易定义加法和乘法，使这个ideal集合对加法和乘法封闭。这就基本上形成了一个环，但是加法没有逆元素，所以是个半环 semi-ring。

4，一个integral domain上，算数基本定理不能成立的原因就在于不是所有的ideal都是principal ideal，所以就要看这个ideal集合中有多少ideal不是principal ideal。这就意味着要把principal ideal这个子集quotient一下。但是集合没法quotient，要看一下它们还有什么结构。

5，一个integral domain上的principal ideal的集合，作为全部ideal集合的子集，对乘法是封闭的，对加法不封闭。所以它构成一个semi-group。那么就要用全部ideal集合作为乘法的semigroup，对全部principal ideal的子集作为sub-semigroup，进行quotient。这应该也是可以quotient的。这个quotient，就是ideal class，也就是任意一个ideal对principal ideal这个sub-semigroup的coset。

6，当然这个semigroup quotient没有group对subgroup的quotient好。要想变为group的话，就要走到integral domain的field of fraction域上来看。

[FoxMe]

总结的很好。这是class field theory的基础，即怎么构造一个扩域，使得其Galois group同构于class group。