出个题

[TheMatrix]

考虑一个函数集合M，其中的元素是函数 P --> Z，素数到整数的函数。

自然数集合可以embed到M中。比如一个自然数28，等于2²*7。根据素因子唯一分解定理，得到一个函数f，f(2)=2,f(7)=1,f(p)=0 for other primes.

正有理数集合可以embed到M中。比如28/27，映射到一个函数g，g(2)=2,g(7)=1,g(3)=-3,g(p)=0 for other primes.

问题：正实数集合能embed到M中吗？

[YWY]

这个embedding的问题，就是比较两个集合的cardinality（势）。实数集合的势小于或等于（其实是等于）上面的函数集合M的势，所以正实数集合能够embed到M中。

至于具体怎么构建这个embedding，可以把M考虑为所有自然集合数到自然数集合的函数，把实数集考虑为开区间(0, 1)。如果这个开区间里的一个数的小数形式是0.a₁a₂a₃...，那么相对应的函数就是f(i) = a_i。

[TheMatrix]

这个embedding的问题，就是比较两个集合的cardinality（势）。实数集合的势小于或等于（其实是等于）上面的函数集合M的势，所以正实数集合能够embed到M中。

至于具体怎么构建这个embedding，可以把M考虑为所有自然集合数到自然数集合的函数，把实数集考虑为开区间(0, 1)。如果这个开区间里的一个数的小数形式是0.a₁a₂a₃...，那么相对应的函数就是f(i) = a_i。

我是希望有一点“合理性”的。我的两个例子都有一定的“合理性” - 正整数和正有理数的embedding，都是乘法到加法的homomorphism。我想看看这个过程能够扩大到多大。正实数也许不行，因为正实数已经有代数和拓扑的限制，也许p-adic？