代数就是研究加法和乘法

[TheMatrix]

此言非虚啊。

也可以先单独看。单独看的话简单。只要求一条：结合律 - 某种结合律。李代数的结合律是Jacobi identity。

为什么要有结合律呢？这个很深刻。。。我也说不出来。

然后就要两个一起看了。两个一起看的话，加法和乘法有自然的划分：分配律。乘法对加法要有分配律。

为什么要有分配律呢？这个很清楚：如果把乘法看成是加法集合上的某种action的话，那么这个action是线性的：a(b+c)=a(b)+a(c)。

这就是两个合拍的运算。

合拍只是乘法对加法合拍。反过来看，加法对乘法并不合拍：加法对乘法没有分配律。a+bc=(a+b)(a+c)? 没有分配律就是不线性，也就意味着如果以乘法生成元来表示的话，也就是素元素分解来表示的话，加法是highly highly nontrivial的：

3⁷5⁴11⁷+7⁹2⁴13⁴=17^?29^?...

“毫无规律”可言。

但是这也是代数问题 - 有了加法和乘法，就可以问的问题。

[TheMatrix]

3⁷5⁴11⁷+7⁹2⁴13⁴=17^?29^?...

这个数等于：

59¹347¹353¹6237353¹

这是素因数分解表示，也是与乘法合拍的表出方式。

与加法合拍的话，加法只有一个生成元(1)，这个数表出为：45077156773057。

[TheMatrix]

3⁷5⁴11⁷+7⁹2⁴13⁴=17^?29^?...

“毫无规律”可言。

也不能说毫无规律可言：

3⁷5⁴11⁷+7⁹2⁴13⁴=59¹347¹353¹6237353¹

至少能看出一条规律：加法是乘法的粉碎机 - 加法之后指数立刻降下来。

即使加1，这么一个innocent操作，也是乘法粉碎机：

3⁷5⁴11⁷+1=2¹93089¹143070217¹ (=26636526860626)

7⁹2⁴13⁴+1=3014659¹6116987¹ (=18440629912433)

[TheMatrix]

合拍只是乘法对加法合拍。反过来看，加法对乘法并不合拍：加法对乘法没有分配律。a+bc=(a+b)(a+c)? 没有分配律就是不线性，也就意味着如果以乘法生成元来表示的话，也就是素元素分解来表示的话，加法是highly highly nontrivial的：

要说不合拍的话，那就多了。两个互相不合拍，比如函数空间 {f:Z --> Z}。有加法，有乘法，有composition。

考虑加法和composition，正反向都不合拍 - composition对加法没有分配律，加法对composition也没有分配律。

但是它们都是有生成元的。加法生成元有可数个，相当于无穷多的方向。composition生成元的话，就是那些不能被compose的。一个元素，也就是这个空间中的一个函数，既可以以加法生成元的方式表出，也可以以composition生成元的方式表出。但是两种表出互相之间的变换就太复杂了。这里有点傅里叶的意思。

[TheMatrix]

要说不合拍的话，那就多了。两个互相不合拍，比如函数空间 {f:Z --> Z}。有加法，有乘法，有composition。

考虑加法和composition，正反向都不合拍 - composition对加法没有分配律，加法对composition也没有分配律。

但是它们都是有生成元的。加法生成元有可数个，相当于无穷多的方向。composition生成元的话，就是那些不能被compose的。一个元素，也就是这个空间中的一个函数，既可以以加法生成元的方式表出，也可以以composition生成元的方式表出。但是两种表出互相之间的变换就太复杂了。这里有点傅里叶的意思。

但是也有加法和乘法双向合拍的！就是集合的交和并：

A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

∩对∪有分配律，∪对∩也有分配律。这个很深刻啊！

这个是什么意义？

[TheMatrix]

也可以先单独看。单独看的话简单。只要求一条：结合律 - 某种结合律。李代数的结合律是Jacobi identity。

为什么要有结合律呢？这个很深刻。。。我也说不出来。

为什么要有结合律？可能可以这么看：

因为有结合律才有表示。

也就是由生成元来表示：也就是几个a，几个b，几个c，...

也可以说是表示论里的那种表示。

什么属性都没有的二元运算，完全的wild，就不好办了。也许就不存在。

哦不。f(x,y)=x²+3y³，这个二元运算好像就什么都没有。

[FoxMe]

可以定义Zariski topology?

但是也有加法和乘法双向合拍的！就是集合的交和并：

A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

∩对∪有分配律，∪对∩也有分配律。这个很深刻啊！

这个是什么意义？

[FoxMe]

有时候结合律不成立，(ab)c不等于a(bc)，叫non-associative algebra. Octonion是一个例子。

Associator定义为：
[x,y,z] = (xy)z − x(yz).

为什么要有结合律？可能可以这么看：

因为有结合律才有表示。

也就是由生成元来表示：也就是几个a，几个b，几个c，...

也可以说是表示论里的那种表示。

什么属性都没有的二元运算，完全的wild，就不好办了。也许就不存在。

哦不。f(x,y)=x²+3y³，这个二元运算好像就什么都没有。

[TheMatrix]

为什么要有结合律？可能可以这么看：

因为有结合律才有表示。

也就是由生成元来表示：也就是几个a，几个b，几个c，...

也可以说是表示论里的那种表示。

什么属性都没有的二元运算，完全的wild，就不好办了。也许就不存在。

哦不。f(x,y)=x²+3y³，这个二元运算好像就什么都没有。

没有结合律的可以通过某种lift，变成有结合律的。

比如f(x,y)=x²+3y³，如果定义A # B = f(A,B)的话，任何结合律都没有。甚至 A#(A#A)都不等于(A#A)#A。

但是可以定义一个f_A：f_A(B)=A#B=f(A,B)。
再定义一个g_A：g_A(B)=B#A=f(B,A)。

也就是把每一个元素lift到一个函数上。在函数空间上看，有结合律，有1，一切都有了。

当然，研究lift和研究本来的二元运算并不完全相等。但至少有一点可依据的。这也算多理解了一点。

李代数的结合律也可以通过某种lift，变成正常的结合律。

[TheMatrix]

有时候结合律不成立，(ab)c不等于a(bc)，叫non-associative algebra. Octonion是一个例子。

Associator定义为：
[x,y,z] = (xy)z − x(yz).

看来Octonion基本上什么结合律也没有：

Yes, the octonions satisfy a weaker form of associativity called alternativity1. This means that the product of three octonions is independent of the placement of parentheses only if at least two of them are equal1. For example, (ee)e = e(ee) for any octonion e, but (ab)c is not necessarily equal to a(bc) for distinct octonions a, b, and c1. The octonions are also power associative, which means that repeated products of the same octonion are associative, such as (ee)e = e(ee) = e^32. However, the octonions do not obey the Jacobi identity, which is another property of associativity that holds for the real numbers, the complex numbers, and the quaternions1. The Jacobi identity states that for any three elements x, y, and z of a Lie algebra, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, where [x, y] denotes the commutator xy − yx1. The octonions are the largest normed division algebra over the real numbers, meaning that they have a multiplicative inverse and a norm that satisfies the property ||xy|| = ||x|| ||y|| for any octonions x and y3. Any higher-dimensional extension of the octonions, such as the sedenions, loses this property and becomes non-division3. The octonions have applications in fields such as string theory, special relativity, and quantum logic1.