素数和加法有关系吗？

[TheMatrix]

生成元这件事我还是有点犯糊涂。monoid，group，unit，irreducible，scalar，这几个的关系。

现在考虑的都是单一二元运算，有1，有结合律。先假定是可交换二元运算。记为a#b。在可交换运算下，1可以记为0。

一组生成元，要求它们在该二元运算下能生成全部其他元素。。。应该是除了0以外的。。。考虑最小生成元集合。

这里没有考虑scalar系数的问题，也就是隐含考虑的是Z₀={0,1,2,...}系数。也就是允许3a这样的元素，因为3a=a#a#a。

那么monoid Z₀本身的生成元是{1}。不是0，是1。{2,3}也不行，因为这要求3-2得到1，但是我们这里还没有减法。

那么Z的生成元呢？{1,-1}，没有-1好像不行。{1,-5}也行，因为1和-5能生成-1。可以有很多组合，但是必须有两个，一正一负。{2,-3}也可以。

考虑二维vector space {ax+by}，系数属于一个域F。这里如果说生成元只有{x,y}的话，那实际上考虑了scalar乘法。如果不考虑scalar乘法，只考虑二元运算，在这里也就是加法的话，那{x,y}还不足以生成整个vector space。也就是F-module和Z₀-module的区别。

总而言之，言而总之，单一二元运算下，有1，有结合律，可交换的条件下，我们考虑的生成元是集合作为Z₀-module的“维度”。

(Z₊,*)，自然数的乘法集合，生成元为全部素数。这和作为Z₀-module的生成元是一致的。

素元素不完全等价于生成元：

(Z,+)作为Z₀-module有两套生成元：{1,-1}, {2,-3}。这说明这里面没有一个是irreducible - 任何一个数都可以是另外两个数以该运算合成出来的：-1=2+(-3),1=2*2+(-3)。

(Z₊,*)作为Z₀-module只有一套生成元：{all prime numbers}，这就没问题：每一个元素既是生成元，又是irreducible，也可以叫乘法素元素。

(Z₀,+)作为Z₀-module也只有一套生成元：{1}，这个元素也是irreducible，也可以叫加法素元素。

[TheMatrix]

素元素不完全等价于生成元：

(Z,+)作为Z₀-module有两套生成元：{1,-1}, {2,-3}。这说明这里面没有一个是irreducible - 任何一个数都可以是另外两个数以该运算合成出来的：-1=2+(-3),1=2*2+(-3)。

(Z₊,*)作为Z₀-module只有一套生成元：{all prime numbers}，这就没问题：每一个元素既是生成元，又是irreducible，也可以叫乘法素元素。

(Z₀,+)作为Z₀-module也只有一套生成元：{1}，这个元素也是irreducible，也可以叫加法素元素。

这里我又犯糊涂了。一个运算，如果成了群（group），那就不能有irreducible了。只有不成群的，也就是只有monoid，才能谈论irreducible，而且可以modulo group of units谈论。

(Z,+)是一个群，没有irreducible。

(Z₊,*)是一个monoid不成群，所以有irreducible。

(Z₀,+)是monoid不成群，所以有irreducible，{1}。

所以生成元和irreducible（或者loosely speaking primes），在monoid不成群，或者modulo group of units的情况下，等价 - 应该等价。