prime ideal可以这么看

[TheMatrix]

prime ideal是ideal set (semi-ring)里的irreducible element。

prime ideal的传统定义挺绕的。P is a prime ideal if a*b in P implies either a in P or b in P.

绕就绕在定义之中有if then。这在逻辑上应该是高一层的逻辑。

直观理解是和prime number建立联系：整数中，prime number生成的ideal都是prime ideal。但是这个直观中用到了principal ideal domain的性质，不总是成立。

用ideal semi-ring 中的 irreducible element来定义，就统一了各种情况：

- 整数中的prime number是乘法的irreducible element。
- ring中的prime ideal是ideal semi-ring （的乘法）中的irreducible element。

也就是说，不管是prime number还是prime ideal，都是某个集合某个运算的irreducible元素。形式上统一了。

[TheMatrix]

prime ideal是ideal set (semi-ring)里的irreducible element。

prime ideal的传统定义挺绕的。P is a prime ideal if a*b in P implies either a in P or b in P.

绕就绕在定义之中有if then。这在逻辑上应该是高一层的逻辑。

直观理解是和prime number建立联系：整数中，prime number生成的ideal都是prime ideal。但是这个直观中用到了principal ideal domain的性质，不总是成立。

用ideal semi-ring 中的 irreducible element来定义，就统一了各种情况：

- 整数中的prime number是乘法的irreducible element。
- ring中的prime ideal是ideal semi-ring （的乘法）中的irreducible element。

形式上统一了。

ideal之间是可以乘的：假设A,B是R中的两个ideal，A*B is the ideal generated by elements a*b。

ideal之间也可以加：A+B is the ideal generated by a+b, or the ideal generated by A∪B。这是一样的。

乘法的单位元是R，也就是R*A=A。加法的单位元是0。

所以ideal set构成一个semi-ring，因为加法没有逆元素。

[FoxMe]

新鲜，我还不知道semi-ring这种观点来看ideal.

一般prime ideal是用来乘的，对应于算术基本定理的分解唯一性。

[TheMatrix]

prime ideal是ideal set (semi-ring)里的irreducible element。

prime ideal的传统定义挺绕的。P is a prime ideal if a*b in P implies either a in P or b in P.

绕就绕在定义之中有if then。这在逻辑上应该是高一层的逻辑。

直观理解是和prime number建立联系：整数中，prime number生成的ideal都是prime ideal。但是这个直观中用到了principal ideal domain的性质，不总是成立。

用ideal semi-ring 中的 irreducible element来定义，就统一了各种情况：

- 整数中的prime number是乘法的irreducible element。
- ring中的prime ideal是ideal semi-ring （的乘法）中的irreducible element。

也就是说，不管是prime number还是prime ideal，都是某个集合某个运算的irreducible元素。形式上统一了。

证明一下这个。也就是要证明一个ring R，它的ideal set的乘法，的irreducible，就是prime ideal。反之亦然。

首先ideal乘法是越乘越小的：A*B ⊆ A，A*B ⊆ B，实际上A*B ⊆ A ∩ B，而 A ∩ B是一个ideal。

A*B什么时候等于 A ∩ B，这是一个问题。

R本身也是一个ideal，是ideal乘法中的单位元，也是最大的。

假设有一个P，已知它是prime ideal。假设P=A*B，那么P ⊆ A。
1，如果A真包含P而又不是全部R的话，那么里面有一个a，不在P中，也不是R的unit。如果B也是这样的话，那么有一个b。而且a*b ∈ P。
2，已知P是prime ideal，根据prime ideal的传统定义，either a ∈ P, or b ∈ P。这和1矛盾。

所以，A要么是R，要么是P。B也是一样。这个证明的是：P是ideal乘法的irreducible。

嗯。。。这是先证了反之亦然。

[TheMatrix]

证明一下这个。也就是要证明一个ring R，它的ideal set的乘法，的irreducible，就是prime ideal。反之亦然。

首先ideal乘法是越乘越小的：A*B ⊆ A，A*B ⊆ B，实际上A*B ⊆ A ∩ B，而 A ∩ B是一个ideal。

A*B什么时候等于 A ∩ B，这是一个问题。

R本身也是一个ideal，是ideal乘法中的单位元，也是最大的。

假设有一个P，已知它是prime ideal。假设P=A*B，那么P ⊆ A。
1，如果A真包含P而又不是全部R的话，那么里面有一个a，不在P中，也不是R的unit。如果B也是这样的话，那么有一个b。而且a*b ∈ P。
2，已知P是prime ideal，根据prime ideal的传统定义，either a ∈ P, or b ∈ P。这和1矛盾。

所以，A要么是R，要么是P。B也是一样。这个证明的是：P是ideal乘法的irreducible。

嗯。。。这是先证了反之亦然。

正向可能是不对的。也就是irreducible ideal (with respect to ideal multiplication)不一定是prime ideal。

考虑(2)在Z[√-5]中，它不是prime ideal，但是它好像是irreducible ideal。

[TheMatrix]

正向可能是不对的。也就是irreducible ideal (with respect to ideal multiplication)不一定是prime ideal。

考虑(2)在Z[√-5]中，它不是prime ideal，但是它好像是irreducible ideal。

这个反例不对。Z[√-5]是Dedekind domain，所有的ideal都能唯一分解为prime ideal的乘积。一个irreducible ideal如果不是prime ideal的话，它一定能分解为prime ideal的乘积，这和irreducible ideal矛盾。

所以原命题正向可能也是对的。至少在Dedekind domain中是对的。

[forecasting]

乘法，加法，运算就算二元函数吧，怎么映射的，随你定义了。至于哪些和哪些相同或相似，就得看二元函数所在的集合和运算构成的结构了。所以，半群，幺半群，群，环，域，格，序什么的都来了。
一般的都可以在数域里定义出来，要不然就花那么大力气去研究数域和数域的扩张？

[TheMatrix]

这个反例不对。Z[√-5]是Dedekind domain，所有的ideal都能唯一分解为prime ideal的乘积。一个irreducible ideal如果不是prime ideal的话，它一定能分解为prime ideal的乘积，这和irreducible ideal矛盾。

所以原命题正向可能也是对的。至少在Dedekind domain中是对的。

差不多能说明。要假定Noetherian。先不管了。。。。不好说，可能不对。

[YWY]

In Z (the ring of integers), let P = {0} and Q = (4). Then P is a prime ideal of Z and P = PQ. However Q is not Z.

On the other hand, in the ring Z[x], the ideal (2, x²) is irreducible (according to your definition) but it is not prime.

[TheMatrix]

In Z (the ring of integers), let P = {0} and Q = (4). Then P is a prime ideal of Z and P = PQ. However Q is not Z.

嗯。这个要加上nontrivial的限制。

On the other hand, in the ring Z[x], the ideal (2, x²) is irreducible (according to your definition) but it is not prime.

对。这个例子很好。增进了理解。

也就是说要看ideal generator的个数，有一个irreducible整个ideal就irreducible（对ideal乘法），但是不一定是prime ideal。

[TheMatrix]

On the other hand, in the ring Z[x], the ideal (2, x²) is irreducible (according to your definition) but it is not prime.

看来prime ideal最好的理解还是：quotient by prime ideal becomes an integral domain。

其次是：prime ideal的complement（补集）对乘法封闭，也叫multiplicative set。

这两个都把传统定义中if then的部分，也就是比较绕的部分，打包起来了。

[TheMatrix]

On the other hand, in the ring Z[x], the ideal (2, x²) is irreducible (according to your definition) but it is not prime.

这个例子确实很好。生成元中有一个是irreducible的，整个ideal就是irreducible (with respect to ideal multiplication)，但却可以不是prime ideal。所以prime ideal更全面。