提一个问题

[TheMatrix]

Let A = {1, 2, ..., n} and let x # y = max{x, y} for x, y in A. Then A is a monoid (with n elements), but A is not a group for n > 1.

用集合的交集并集也能构造有限的monoid非群。

[forecasting]

对。

这个问题我没想出来。我问了Bing，Bing给了这个答案。

monoid的这种结构和自然数很不同啊。看来要撑起自然数的结构，加法和乘法都是必不可少的。

https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms

尤其参看Peano arithmetic as first-order theory

公理化乃至形式化一般要满足独立性，一致性，完备性（足够丰富就无法满足）。独立性就是无可约简（有乘法和加法）。一致性不可证明，不等于没达到要求，Gentzen用超穷归纳法证明了算术一致性（https://link.springer.com/article/10.1007/BF01565428）。Peano first order arithmetics 不满足完备性。

所以这个问题从另一角度看，好像更省力。

[TheMatrix]

https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms

尤其参看Peano arithmetic as first-order theory

公理化乃至形式化一般要满足独立性，一致性，完备性（足够丰富就无法满足）。独立性就是无可约简（有乘法和加法）。一致性不可证明，不等于没达到要求，Gentzen用超穷归纳法证明了算术一致性（https://link.springer.com/article/10.1007/BF01565428）。Peano first order arithmetics 不满足完备性。

所以这个问题从另一角度看，好像更省力。

哪个问题？构造有限monoid问题？还是构造有结合律的二元函数的问题？

[forecasting]

哪个问题？构造有限monoid问题？还是构造有结合律的二元函数的问题？

看来要撑起自然数的结构，加法和乘法都是必不可少的。

一阶算术公理都包括了乘法和加法。

[TheMatrix]

看来要撑起自然数的结构，加法和乘法都是必不可少的。

一阶算术公理都包括了乘法和加法。

哦是的。自然数也是一阶算术公理的model。我这里是想找minimal代数结构，使它能接近自然数的代数结构。

[forecasting]

哦是的。自然数也是一阶算术公理的model。我这里是想找minimal代数结构，使它能接近自然数的代数结构。

Herbrand structure或者埃尔布朗化能否得出自然数的最小模型？https://en.wikipedia.org/wiki/Herbrand_structure

再参考https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms 里面模型那一部分。

你知道，形式语言或者数理逻辑语句集的模型就是数学结构。

你按照同态一步步往下走就是。