不可约与生成元

[TheMatrix]

不可约（irreducible）与生成元（generator）的关系挺微妙的。

到处都用，比较乱，定义也不严格。

不可约，意味着不能用更简单的元素组合出来。怎么叫“组合”出来呢？也就是要有一个二元运算。

而生成元，就是一个集合的子集，通过运算能生成全部集合，那么这个集合的每一个元素都是一个生成元。这里也要有一个二元运算。可以想象生成元集合不唯一。一般要求一个最小生成元集合。

这都不是定义。这是出处。

[TheMatrix]

不可约（irreducible）与生成元（generator）的关系挺微妙的。

到处都用，比较乱，定义也不严格。

不可约，意味着不能用更简单的元素组合出来。怎么叫“组合”出来呢？也就是要有一个二元运算。

而生成元，就是一个集合的子集，通过运算能生成全部集合，那么这个集合的每一个元素都是一个生成元。这里也要有一个二元运算。可以想象生成元集合不唯一。一般要求一个最小生成元集合。

这都不是定义。这是出处。

所以就要有一个运算，二元运算。只需要一个。

要有某种结合律，就假定a(bc)=(ab)c吧。什么都没有的话就不容易讨论了。

假定有1。这个要求不是很为难。结合律是a big step。而1并不难。

这就已经成了monoid了。有结合律，有1，就是monoid。

不可约的话，就是只能p=1*p，没有别的约法。或者p=u*q，但是u是一个unit，类似于1，也就是可逆。那么p和q算等价，都是不可约。所以要模去group of units。这样的商monoid中只有一个1，没有其他units。如果是群的话，整个集合都是units，模去group of units之后就剩一个元素了。也就是群里不谈论不可约。

但是群里可以谈论生成元。

不可约的元素在monoid中，显然必须是生成元 - 因为没有别的元素能生成它。所以不可约元素和生成元很接近，但还是有点区别。

[TheMatrix]

所以就要有一个运算，二元运算。只需要一个。

要有某种结合律，就假定a(bc)=(ab)c吧。什么都没有的话就不容易讨论了。

假定有1。这个要求不是很为难。结合律是a big step。而1并不难。

这就已经成了monoid了。有结合律，有1，就是monoid。

不可约的话，就是只能p=1*p，没有别的约法。或者p=u*q，但是u是一个unit，类似于1，也就是可逆。那么p和q算等价，都是不可约。所以要模去group of units。这样的商monoid中只有一个1，没有其他units。如果是群的话，整个集合都是units，模去group of units之后就剩一个元素了。也就是群里不谈论不可约。

但是群里可以谈论生成元。

不可约的元素在monoid中，显然必须是生成元 - 因为没有别的元素能生成它。所以不可约元素和生成元很接近，但还是有点区别。

比如整数乘法。这是一个monoid（要先去掉0），有1，但是有两个units：1，-1。模去group of units的话，和自然数等价。其不可约元素就是素数。

整数加法。这是一个群，没有不可约元素。

非负整数加法。这是一个monoid，0是单位元。只有一个不可约元素，就是1。

在monoid中，不可约元素和生成元应该是重合的。

整数加法没有不可约元素。生成元的话，可以说一个{1}，也可以说两个{1,-1}，看允许以什么方式生成。最严格的话应该说两个{1,-1}。

[TheMatrix]

整数加法没有不可约元素。生成元的话，可以说一个{1}，也可以说两个{1,-1}，看允许以什么方式生成。最严格的话应该说两个{1,-1}。

整数加法生成元说一个的话，{1}，那要允许逆元素的操作。如果只考虑一个二元运算的话，{1}就不够。从另一个角度看，允许倍乘操作，而且倍乘的系数允许负数的话，一个生成元{1}也够。所以说生成元有几个，要看允许以什么方式生成。

比如说二维vector space，{ax+by}，a,b取实数，有两个生成元{x,y}。那是因为我们允许加，也允许实数乘。只允许加法，也可以说等价于允许非负整数乘，因为3a=a+a+a。如果只允许加的话，生成元就多了去了 - 不可数。

[TheMatrix]

在monoid中，不可约元素和生成元应该是重合的。

假设有一个monoid，已经模去了group of units，也就是说只有一个unit，就是单位元1。这就可以很干净地谈论不可约元素。比如自然数乘法。非负整数加法。

不可约一定是生成元 - 因为没有什么元素能生成它。在自然数乘法中，这就是素数。而全部的不可约元素也一定能生成全部的集合 - 除了1。

然后就要考虑以不可约元素来表示其他所有的元素 - 也就是几个p，几个q，几个r的问题。比如自然数乘法中：1210104=2³3²7⁵，也就是3个2，2个3，5个7。

这也是“表示论”。:)

[TheMatrix]

假设有一个monoid，已经模去了group of units，也就是说只有一个unit，就是单位元1。这就可以很干净地谈论不可约元素。比如自然数乘法。非负整数加法。

不可约一定是生成元 - 因为没有什么元素能生成它。在自然数乘法中，这就是素数。而全部的不可约元素也一定能生成全部的集合 - 除了1。

然后就要考虑以不可约元素来表示其他所有的元素 - 也就是几个p，几个q，几个r的问题。比如自然数乘法中：1210104=2³3²7⁵，也就是3个2，2个3，5个7。

这也是“表示论”。:)

而表示如果没有唯一性的话。斯不美矣。

[FoxMe]

不可约元素和素元容易混淆：有些环中， 不可约元素就是素元；一般情况则不一定。

还有群的生成元和环中（理想）的生成元很不相同：前者相当于一组基，后者相当于什么？

[TheMatrix]

而表示如果没有唯一性的话。斯不美矣。

也不能这么说。没有唯一性，就有多样性。也就有多样性的空间。把这个空间列出来，就差不多算研究清楚了。

比如二维vector space {ax+by}，系数a,b考虑的是实数。生成元为{x,y}的话，向量的表示为(a,b)。换一个生成元有另一个表示，生成元{x+y,x-y}的话，向量的表示为((a+b)/2,(a-b)/2)。

生成元这个说法比较灵活，没说允许以什么方式生成。这里的话，允许的是加法和实数乘法。

而不可约这个概念就更单一，都是以一个二元运算为根基的。

生成元自己有一个空间，很大。其中没有一个canonical的选择。而不可约集合是唯一的。失去了灵活性，得到了唯一性。

[TheMatrix]

还有群的生成元和环中（理想）的生成元很不相同：前者相当于一组基，后者相当于什么？

环中的理想，可以看成是该环的module。所以理想的生成元也相当于一组基。

但是环的乘法不可逆，所以理想这个概念在群里没有，在monoid里可以有（类似的）。

[TheMatrix]

不可约元素和素元容易混淆：有些环中， 不可约元素就是素元；一般情况则不一定。

我认为“不可约”这个概念是基础的。不可约这个概念，有一个二元运算就可以定义。

而“素元”可以说是派生的。自然数中的素数，就是自然数乘法的不可约元素。

而环中的素元，可以定义为：如果(p)为素理想，那么p就是素元。它是通过素理想来定义。loosely speaking的时候才用。

[TheMatrix]

环中的理想，可以看成是该环的module。所以理想的生成元也相当于一组基。

但是环的乘法不可逆，所以理想这个概念在群里没有，在monoid里可以有（类似的）。

环与monoid很像。- 也不奇怪，因为环主要研究的是乘法，而环的乘法不构成群，所以是monoid。

比如这个理想，ideal，它在群里没有，因为它不仅仅是要求对乘法封闭，它相当于把整个环在自己的内部再复刻一遍，用module来称呼是最恰当的。也就是一个ideal，是自身内部的一个module。

monoid也可以在自己的内部复刻一遍，也可以叫内部的一个module：monoid-module。叫理想好像也合理。

不可约，zero divisor，prime ideal，multiplicative set，这些都是环中和乘法有关的概念，都能在monoid找到相似的来源。

[TheMatrix]

而表示如果没有唯一性的话。斯不美矣。

这么说也是有道理的。换一套生成元，相当于换一套基，则有不同的表示。但是固定一套基，应该有唯一的表示 - 没有唯一的表示则不美。

monoid中不可约元素的集合构成了一套生成元。而且是一套canonical的选择。以这套生成元为基的表示都不唯一的话，确实不美。

比如在Z[√-5]中，{2,3,1+√-5,1-√-5} 都是不可约元素，由全部不可约元素构成的生成元，这几个数少一个都不行。但是6=2*3=(1+√-5)*(1-√-5)。也就是没有unique factorization的性质。

[FoxMe]

monoid, groupoid, semigroup...很容易混淆。特别是monoid, groupoid, 区别在哪里？

[TheMatrix]

monoid, groupoid, semigroup...很容易混淆。特别是monoid, groupoid, 区别在哪里？

semigroup和monoid只差一个1。差别不大。

groupoid不知道。

[FoxMe]

看了一下：monoid不一定有逆元，groupoid不一定能相乘。

semigroup和monoid只差一个1。差别不大。

groupoid不知道。

[TheMatrix]

不可约，zero divisor，prime ideal，multiplicative set，这些都是环中和乘法有关的概念，都能在monoid找到相似的来源。

不对。

zero divisor在monoid中没有对应。因为monoid只有1没有0。没有zero divisor就没有integral domain的对应，也就没有prime ideal的对应。因为prime ideal是模去之后成为integral domain的ideal。

但是multiplicative set是有对应的，也就是对乘法封闭的子集。在monoid中是一个子monoid。而prime ideal是补集为multiplicative set的ideal。从这个方向可以对应到monoid上去。

0对monoid来说，是一个超然的存在。

[TheMatrix]

这么说也是有道理的。换一套生成元，相当于换一套基，则有不同的表示。但是固定一套基，应该有唯一的表示 - 没有唯一的表示则不美。

monoid中不可约元素的集合构成了一套生成元。而且是一套canonical的选择。以这套生成元为基的表示都不唯一的话，确实不美。

比如在Z[√-5]中，{2,3,1+√-5,1-√-5} 都是不可约元素，由全部不可约元素构成的生成元，这几个数少一个都不行。但是6=2*3=(1+√-5)*(1-√-5)。也就是没有unique factorization的性质。

以全部不可约元素构成的生成元，来表示ring中的一个元素，这个表示如果还不唯一的话，这个问题应该怎么看呢？

一种看法是：分得还不够细。真正分到原子的单位，元素之间应该是正交，表示也应该唯一。这是一种哲学的看法。

数学上推进这种看法的话，也就是把这个ring嵌入到一个元素更多的ring，一种扩展。然后在这种扩展之下，有问题的不可约元素变成可约的了，而新的不可约元素才是真正的不可约元素，哲学上叫原子，atom。而原子，应该具有表示的唯一性。

一种方法是，a ↦ (a)，元素映射到其principal ideal。那么ring映射入ideal set，是一个semi-ring。

可惜这个映射不是一个ring homomorphism。它只尊重乘法，不尊重加法。

semi-ring也可以有ideal，也就是ideal semi-ring可以有自己的ideal。还能一层一层往上走。

有没有真正的ring embedding，使有问题的不可约元素变成可约的？

[cozofxx]

到原子轨道也没用，原子的轨道之间也不完全正交，还有自旋轨道耦合项。即便到自旋轨道耦合也不完全正交。这玩意儿就是个无底洞，所以关键
是精度问题，而非某种数学上的完美主义。你得问，在某一个精度下，最有效的表示是什么。这就是一个真正在物理和工程上有意义的问题，而非某种玄学问题。回到那个测量问题，测量，必然是在一定精度条件，一定边界情况下的度量值，而非数学家和一部分搞数学物理的人幻想出来的绝对意义的东西。

以全部不可约元素构成的生成元，来表示ring中的一个元素，这个表示如果还不唯一的话，这个问题应该怎么看呢？

一种看法是：分得还不够细。真正分到原子的单位，元素之间应该是正交，表示也应该唯一。这是一种哲学的看法。

数学上推进这种看法的话，也就是把这个ring嵌入到一个元素更多的ring，一种扩展。然后在这种扩展之下，有问题的不可约元素变成可约的了，而新的不可约元素才是真正的不可约元素，哲学上叫原子，atom。而原子，应该具有表示的唯一性。

一种方法是，a ↦ (a)，元素映射到其principal ideal。那么ring映射入ideal set，是一个semi-ring。

可惜这个映射不是一个ring homomorphism。它只尊重乘法，不尊重加法。

semi-ring也可以有ideal，也就是ideal semi-ring可以有自己的ideal。还能一层一层往上走。

有没有真正的ring embedding，使有问题的不可约元素变成可约的？