将代数几何应用于数论
版主: verdelite, Tlexander
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#1 将代数几何应用于数论
于是就有了算术几何或者算术代数几何。都有哪些大结果呢?不完全的列表:
Mordell-Weil定理, https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell%E ... il_theorem
费马大定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Faltings定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
请继续罗列
Mordell-Weil定理, https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell%E ... il_theorem
费马大定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Faltings定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
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#2 Re: 将代数几何应用于数论
为什么叫算术几何呢?好像也没算什么,都是证明。forecasting 写了: ↑2月 27, 2024, 8:49 pm 于是就有了算术几何或者算术代数几何。都有哪些大结果呢?不完全的列表:
Mordell-Weil定理, https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell%E ... il_theorem
费马大定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Faltings定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
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#3 Re: 将代数几何应用于数论
算术就是数论的意思,高斯那本书好像就叫作算术研究。几何其实指代数几何,就是代数几何思想和技术应用于数论。算术几何就是研究Diophantine equations的整数解,因为马季亚谢维奇定理(由他提供的完成证明的关键步骤)和MRDP定理(即尤里·马季亚谢维奇(Yuri Matiyasevich),朱莉娅·罗宾逊(Julia Robinson),马丁·戴维斯(Martin Davis)和希拉里·普特南(Hilary Putnam))否定了希尔伯特第十问题。分类丢番图方程并研究其整数解,就自然成了代数几何和数论交叉的地带。
证明就是计算,计算就是证明。我说了好几次Curry-Howard定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Curry%E2% ... espondence 。大家可能都觉得是闲聊,就随意浏览一下。
Post,Godel,Herbrand,Turing,Church,Curry and Howard,Chomsky,Markov等人的工作有一个等价关系的证明:Post system = Computable function=Turing Machine=algorithm(program)=proof= c.e.language= Markov algorithm. 等号是表示在计算的意义上等价。普林斯顿高等研究院那个univalent项目部分地也是基于这个思想 https://www.math.princeton.edu/events/u ... -28t163003 。
转:《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae)是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1798年写成的一本数论教材,在1801年他24岁时首次出版
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#4 Re: 将代数几何应用于数论
我早说过,以为《九章算术》不是数学的人,都是不懂数学的。从这个意义上说,中国是世界上最早研究数论的。高斯写《算术探索》的时候,只有二十岁左右。他的那些结果哪儿来的?
丢番图方程就是多项式方程(组),研究丢番图方程的(整数)解,是数论的基本问题之一,自然联系上代数几何。现在不会代数几何,研究数论很受局限,像张益唐那样的人不多了。
椭圆曲线和abelian variety,都是算术几何里的常见问题。Langlands program是目前算术几何的核心问题。
丢番图方程就是多项式方程(组),研究丢番图方程的(整数)解,是数论的基本问题之一,自然联系上代数几何。现在不会代数几何,研究数论很受局限,像张益唐那样的人不多了。
椭圆曲线和abelian variety,都是算术几何里的常见问题。Langlands program是目前算术几何的核心问题。
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#5 Re: 将代数几何应用于数论
算术就是数论。嗯,这个解释可以接受。这是一个用词的问题。
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#6 Re: 将代数几何应用于数论
张益唐懂代数几何,莫宗坚就是做代数几何的,不过是从代数入手而已。张懂不懂算术代数几何,不清楚。做算术代数几何的先有李克正,后有张寿武。综合代数几何和分析数论或者代数数论解决数论问题,也常见。
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#9 Re: 将代数几何应用于数论
forecasting 写了: ↑2月 27, 2024, 8:49 pm 于是就有了算术几何或者算术代数几何。都有哪些大结果呢?不完全的列表:
Mordell-Weil定理, https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell%E ... il_theorem
费马大定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Faltings定理,https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem
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一种ζ函数的幂级数各系数恰是椭圆曲线模P(奇素数)有理解的亏量。由Ribet定理导出费马大定理成立。ζ函数是自守形式或模形式,就是说,模形式和椭圆曲线模P(奇素数)有理解的亏量相关联,也就是跟费马大定理相关联。这么神奇而漂亮!
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