土法变分题

[Amorphous]

有一均匀无空洞星体, 给定体积和密度. 问星体什么形状时, 其表面某点万有引力最大？

[TheMatrix]

有一均匀无空洞星体, 给定体积和密度. 问星体什么形状时, 其表面某点万有引力最大？

我简化出另一个问题：给出一个形状，其表面某点万有引力超过球形。

[TheMatrix]

有一均匀无空洞星体, 给定体积和密度. 问星体什么形状时, 其表面某点万有引力最大？

变分法应该能解这个问题。

需要一些定性分析：
1，以表面一点为基点A来看的话，物体表面需要接触A点。
2，物体应该以通过A点的直线有旋转对称性。
3，旋转抽可以指定为一个方向。
4，所以物体表面由一条曲线绕旋转轴旋转而成，该曲线通过A点和旋转轴上另外一点B。A和B为该物体的端点 - 超过就没有。
5，该曲线为凸函数(f''<0)，因为如果不凸的话，。。。这个应该是可以说明的。

然后写一个积分。再变分。。。

结果应该是个球。

[Amorphous]

变分法应该能解这个问题。

需要一些定性分析：
1，以表面一点为基点A来看的话，物体表面需要接触A点。
2，物体应该以通过A点的直线有旋转对称性。
3，旋转抽可以指定为一个方向。
4，所以物体表面由一条曲线绕旋转轴旋转而成，该曲线通过A点和旋转轴上另外一点B。A和B为该物体的端点 - 超过就没有。
5，该曲线为凸函数(f''<0)，因为如果不凸的话，。。。这个应该是可以说明的。

然后写一个积分。再变分。。。

结果应该是个球。

柱对称是对的. 但不是球体. 不会变分法, 但是知道变分法的精神就可以做, 所以我说土法变分

[TheMatrix]

变分法应该能解这个问题。

需要一些定性分析：
1，以表面一点为基点A来看的话，物体表面需要接触A点。
2，物体应该以通过A点的直线有旋转对称性。
3，旋转抽可以指定为一个方向。
4，所以物体表面由一条曲线绕旋转轴旋转而成，该曲线通过A点和旋转轴上另外一点B。A和B为该物体的端点 - 超过就没有。
5，该曲线为凸函数(f''<0)，因为如果不凸的话，。。。这个应该是可以说明的。

然后写一个积分。再变分。。。

结果应该是个球。

假设A为原点，旋转轴为x轴，B的x坐标可以设定为1。

曲线为一个函数f(x)。绕x轴旋转起来之后，x坐标处有一个圆饼，半径为f(x)。

考虑距离x坐标轴r处的一个小体积元，r dr dθ dx，对原点的万有引力，

F = (r dr dθ dx)/(r²+x²)

由于轴对称，只需要考虑x方向的分量：

F_x = F * x/√(r²+x²)

对F_x积分，x从0到1，θ从0到2π，r从0到f(x)。求使得积分最大的f。

限定体积，也就是(r dr dθ dx)的积分为常数。

[TheMatrix]

柱对称是对的. 但不是球体. 不会变分法, 但是知道变分法的精神就可以做, 所以我说土法变分

不是球体吗？不会是椎体吧？不应该。钟形？

[Amorphous]

不是球体吗？不会是椎体吧？不应该。钟形？

你上面已经接近了。

首先极值点重力一定是沿着旋转轴方向.

使用以极值点为原点的球坐标.

考虑表面体积元 dV, 那么对极值点重力加速度的贡献为

cos(theta) *G * rho * dV/r^2

cos(theta) 是因为只有轴向的贡献, 因为柱对称.

那么极值条件是, 在表面任意移动体积元, 极值点重力加速度不变. 可得

cos(theta) / r^2 = const

[TheMatrix]

你上面已经接近了。

首先极值点重力一定是沿着旋转轴方向.

使用以极值点为原点的球坐标.

考虑表面体积元 dV, 那么对极值点重力加速度的贡献为

cos(theta) *G * rho * dV/r^2

cos(theta) 是因为只有轴向的贡献, 因为柱对称.

那么极值条件是, 在表面任意移动体积元, 极值点重力加速度不变. 可得

cos(theta) / r^2 = const

漂亮。

极值曲面沿表面移动体积元重力加速度不变，这个我还得想想。不过这个条件很漂亮。

我也是在定性考虑：
假设一个体积元，沿轴向从1移动到1+x。
另一方面，沿垂直轴向移动y。
那么两个方向效果相等的关系为：
1/(1+x)² = 1/(1+y²)^(3/2)

我感觉直觉培养到一定程度，从这些关系中就可以看出什么是最佳形状。

[TheMatrix]

漂亮。

极值曲面沿表面移动体积元重力加速度不变，这个我还得想想。不过这个条件很漂亮。

我也是在定性考虑：
假设一个体积元，沿轴向从1移动到1+x。
另一方面，沿垂直轴向移动y。
那么两个方向效果相等的关系为：
1/(1+x)² = 1/(1+y²)^(3/2)

我感觉直觉培养到一定程度，从这些关系中就可以看出什么是最佳形状。

我这个考虑的是如何把小体积元安排在最近的位置上，同时尽可能靠近轴线，以得到最大的万有引力在轴线上的分量。但是轴线附近的位置是有限的，所以就会往远离轴线的地方挤过去。

所以，安排小体积元应该是一层一层安排，一层安排满了才走下一层。每一层是一个曲面，曲面上每一个位置的小体积元对基点的万有引力相同。这解释了小体积元在物体表面移动对基点的万有引力不变这个条件。

我这里用x和y两个变量，在1的附近应该是对的。但是任意位置的话，好像不容易处理。

[TheMatrix]

你上面已经接近了。

首先极值点重力一定是沿着旋转轴方向.

使用以极值点为原点的球坐标.

考虑表面体积元 dV, 那么对极值点重力加速度的贡献为

cos(theta) *G * rho * dV/r^2

cos(theta) 是因为只有轴向的贡献, 因为柱对称.

那么极值条件是, 在表面任意移动体积元, 极值点重力加速度不变. 可得

cos(theta) / r^2 = const

确实不是球。有点像眼球：

[Amorphous]

确实不是球。有点像眼球：

对的。

可以进一步加难度, 如果是一个磁性星球, 请问什么形状某点磁力最大. 这个似乎没有妙的解法, 大概只能猜一下极值点附近的形状.