从reflection和rotation为例看clifford algebra

[FoxMe]

记得正交群O_n（V）中的元素都可以用n次反射来实现，忘了为啥。

为啥要用两个反射代替旋转？一个不行吗？

旋转的处理是clifford的精髓，用两个反射代替旋转的技巧是Hamilton想出来的。

[Caravel]

记得正交群O_n（V）中的元素都可以用n次反射来实现，忘了为啥。

为啥要用两个反射代替旋转？一个不行吗？

不行，你想象一下被旋转的是一个F，镜像的反的

[TheMatrix]

就是偶subalgebra。

>even Clifford algebra = {n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}.

这里记错了，只对quaternion成立。{n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}是一个子集，但好像没有专门取名字，已修正。

这里又牵扯出两个名词：

spin group = {以上的n, 并且n 的norm=1}；所以我说的那个集合基本上是spin group: 这也好理解，这个群就是用来做旋转/反射的。

还有spinor norm = n的norm，基本上。

大致上spin group + spinor norm完整地刻画了上面那个子集。

嗯。spin group把V中的一个向量变成另一个向量，相当于旋转。那么在基向量表示下，spin group的元素什么样呢？比如是两个基向量e1e2，三个基向量e1e2e3，还是什么样。

[Caravel]

就是偶subalgebra。

>even Clifford algebra = {n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}.

这里记错了，只对quaternion成立。{n : n x n^{-1} \in V, for all x \in V}是一个子集，但好像没有专门取名字，已修正。

这里又牵扯出两个名词：

spin group = {以上的n, 并且n 的norm=1}；所以我说的那个集合基本上是spin group: 这也好理解，这个群就是用来做旋转/反射的。

还有spinor norm = n的norm，基本上。

大致上spin group + spinor norm完整地刻画了上面那个子集。

spin group是做旋转，反射不在里面吧？

[FoxMe]

对，不包括反射，这样spin group的名字就make sense了。还有群Spin(n)是群SO(n)的double cover，这里SO(n)是特殊正交群，只包括旋转，不包括反射。

spin group是做旋转，反射不在里面吧？

[FoxMe]

有道理

不行，你想象一下被旋转的是一个F，镜像的反的

[FoxMe]

Spin group在CL(3,0)的情况下，刚好对应于(unit) quaternion，一般情况下是偶子代数的子群，但是到底长得啥样？我也很困惑。感觉Clifford的主要作用之一就是来定义Spin group（一种巨复杂的方式）。

“quaternion则对应于3d vector space clifford代数CL(3,0)的偶子代数
{1, e1, e2, e3, e1e2, e2e3,
e1e3, e1e2e3}

偶子代数
{1, e1e2, e2e3,e1e3}
不难看出其中可以对应到quaternion的symbol i，j, k, 并且满足 i^2 = j^2= k^2 = ijk = -1,”

嗯。spin group把V中的一个向量变成另一个向量，相当于旋转。那么在基向量表示下，spin group的元素什么样呢？比如是两个基向量e1e2，三个基向量e1e2e3，还是什么样。

[Caravel]

Spin group在CL(3,0)的情况下，刚好对应于(unit) quaternion，一般情况下是偶子代数的子群，但是到底长得啥样？我也很困惑。感觉Clifford的主要作用之一就是来定义Spin group（一种巨复杂的方式）。

“quaternion则对应于3d vector space clifford代数CL(3,0)的偶子代数
{1, e1, e2, e3, e1e2, e2e3,
e1e3, e1e2e3}

偶子代数
{1, e1e2, e2e3,e1e3}
不难看出其中可以对应到quaternion的symbol i，j, k, 并且满足 i^2 = j^2= k^2 = ijk = -1,”

属实，spin(n) 只包括rotation，加上reflections的group叫 pin(n). Rotation在Clifford的里面也非常简洁，

基本型是
x - > RxR^(-1)

R是两个vector a, b 的geometry product ab, 也叫Versor. a，b的平面是旋转平面，比较奇怪的是a，b的夹角不是 theta 而是 theta/2.

x可以推广到clifford 代数里面一般的multi-vector。

这个旋转的idea可能是从四元数借鉴来的，但是clifford把很多不同的数学概念统一在一个框架里面。

[Caravel]

继续开头的例子，谈一谈rotation in clifford algebra （CA）

开头的例子举的例子是关于一条直线的反射，通常的reflection定义一般是指关于一个平面的reflection。假设平面的单位法向量是n, 则一个vectorx 关于平面的反射是

x -> -nxn

和之前的差不多。CA里面处理旋转是用两次reflections来实现，用3d情形举例。比如ex 旋转 90度到ey，可以看出下面两次反射的结果

1. 关于45度线1/sqrt(2)(e₁ + e₂ ) 定义的平面反射到 -ey
2. 然后关于e₂定义的xz平面反射回到e₂

两个comment
1. 这是一个简单的例子，第二部完全是多余的，直接乘以-1就可以。但是如果第二个平面不是xz平面结果并不是显然。
2. 最终矢量转动了90度，但是这两条法向量的夹角45度，只有一般。

借助于这种两次反射的方法，可以实现任意角度的旋转。 在CA里面rotation总是在一个平面里面进行，和通常的认为绕一根轴的rotation等价。 假设平面里面有两个单位向量m，n，那就可以定义旋转为

x -> -m(-nxn)m = mn x nm = R x R^ (-1)

如果mn的夹角为theta，最终x旋转的结果是2 * theta。和普通的向量代数处理不一样，这里的旋转用两个geometry product夹逼来实现。再回到上面的例子。

n = 1/sqrt(2)(e₁ + e₂ )
m = e₂

mn = 1/sqrt(2)(e₂e₁ + e₂e₂)
= 1/sqrt(2)(1 - e₁e₂) = ( cos(45) - sin(45) e₁e₂)
nm = 1/sqrt(2)(1 + e₁e₂) = ( cos(45) + sin(45) e₁e₂)

再进一步如果我们意识到 （e₁e₂）^2 = -1, 类似于复数i，那么上面的结果可以写成指数形式

mn = e^{-pi/4 *e₁e₂}
nm = e^{pi/4 *e₁e₂}

x -> e^{-pi/4 *e₁e₂} x e^{pi/4 *e₁e₂}

也就是只要找到旋转平面里面两个角度为 theta/2的向量，就可以用来旋转空间任意vector。MultiVector也可以， 比如

xy -> RxR^(-1) RyR^(-1) = RxyR^(-1)

[FoxMe]

哦，以前对为啥叫pin(n)摸不着头脑，原来是把spin的s去掉：

“Pin is to O(n) as Spin is to SO(n)”

为啥是theta/2，我感觉是因为spin/pin是SO(n)/O(n)的double cover，即要转两圈才回到原先的位置。

属实，spin(n) 只包括rotation，加上reflections的group叫 pin(n). Rotation在Clifford的里面也非常简洁，

基本型是
x - > RxR^(-1)

R是两个vector a, b 的geometry product ab, 也叫Versor. a，b的平面是旋转平面，比较奇怪的是a，b的夹角不是 theta 而是 theta/2.

x可以推广到clifford 代数里面一般的multi-vector。

这个旋转的idea可能是从四元数借鉴来的，但是clifford把很多不同的数学概念统一在一个框架里面。

[Caravel]

哦，以前对为啥叫pin(n)摸不着头脑，原来是把spin的s去掉：

“Pin is to O(n) as Spin is to SO(n)”

为啥是theta/2，我感觉是因为spin/pin是SO(n)/O(n)的double cover，即要转两圈才回到原先的位置。

double cover是因为两边夹逼，所以同时R取负不影响最后的rotation。

[TheMatrix]

继续开头的例子，谈一谈rotation in clifford algebra （CA）

开头的例子举的例子是关于一条直线的反射，通常的reflection定义一般是指关于一个平面的reflection。假设平面的单位法向量是n, 则一个vectorx 关于平面的反射是

x -> -nxn

和之前的差不多。CA里面处理旋转是用两次reflections来实现，用3d情形举例。比如ex 旋转 90度到ey，可以看出下面两次反射的结果

1. 关于45度线1/sqrt(2)(e₁ + e₂ ) 定义的平面反射到 -ey
2. 然后关于e₂定义的xz平面反射回到e₂

两个comment
1. 这是一个简单的例子，第二部完全是多余的，直接乘以-1就可以。但是如果第二个平面不是xz平面结果并不是显然。
2. 最终矢量转动了90度，但是这两条法向量的夹角45度，只有一般。

借助于这种两次反射的方法，可以实现任意角度的旋转。 在CA里面rotation总是在一个平面里面进行，和通常的认为绕一根轴的rotation等价。 假设平面里面有两个单位向量m，n，那就可以定义旋转为

x -> -m(-nxn)m = mn x nm = R x R^ (-1)

如果mn的夹角为theta，最终x旋转的结果是2 * theta。和普通的向量代数处理不一样，这里的旋转用两个geometry product夹逼来实现。再回到上面的例子。

n = 1/sqrt(2)(e₁ + e₂ )
m = e₂

mn = 1/sqrt(2)(e₂e₁ + e₂e₂)
= 1/sqrt(2)(1 - e₁e₂) = ( cos(45) - sin(45) e₁e₂)
nm = 1/sqrt(2)(1 + e₁e₂) = ( cos(45) + sin(45) e₁e₂)

再进一步如果我们意识到 （e₁e₂）^2 = -1, 类似于复数i，那么上面的结果可以写成指数形式

mn = e^{-pi/2 *e₁e₂}
nm = e^{pi/2 *e₁e₂}

x -> e^{-pi/2 *e₁e₂} x e^{pi/2 *e₁e₂}

也就是只要找到旋转平面里面两个角度为 theta/2的向量，就可以用来旋转空间任意vector。MultiVector也可以， 比如

xy -> RxR^(-1) RyR^(-1) = RxyR^(-1)

学习了。这的确是CA的正确打开方式。

[TheMatrix]

继续开头的例子，谈一谈rotation in clifford algebra （CA）

开头的例子举的例子是关于一条直线的反射，通常的reflection定义一般是指关于一个平面的reflection。假设平面的单位法向量是n, 则一个vectorx 关于平面的反射是

x -> -nxn

和之前的差不多。CA里面处理旋转是用两次reflections来实现，用3d情形举例。比如ex 旋转 90度到ey，可以看出下面两次反射的结果

1. 关于45度线1/sqrt(2)(e₁ + e₂ ) 定义的平面反射到 -ey
2. 然后关于e₂定义的xz平面反射回到e₂

两个comment
1. 这是一个简单的例子，第二部完全是多余的，直接乘以-1就可以。但是如果第二个平面不是xz平面结果并不是显然。
2. 最终矢量转动了90度，但是这两条法向量的夹角45度，只有一般。

借助于这种两次反射的方法，可以实现任意角度的旋转。 在CA里面rotation总是在一个平面里面进行，和通常的认为绕一根轴的rotation等价。 假设平面里面有两个单位向量m，n，那就可以定义旋转为

x -> -m(-nxn)m = mn x nm = R x R^ (-1)

如果mn的夹角为theta，最终x旋转的结果是2 * theta。和普通的向量代数处理不一样，这里的旋转用两个geometry product夹逼来实现。再回到上面的例子。

n = 1/sqrt(2)(e₁ + e₂ )
m = e₂

mn = 1/sqrt(2)(e₂e₁ + e₂e₂)
= 1/sqrt(2)(1 - e₁e₂) = ( cos(45) - sin(45) e₁e₂)
nm = 1/sqrt(2)(1 + e₁e₂) = ( cos(45) + sin(45) e₁e₂)

再进一步如果我们意识到 （e₁e₂）^2 = -1, 类似于复数i，那么上面的结果可以写成指数形式

mn = e^{-pi/2 *e₁e₂}
nm = e^{pi/2 *e₁e₂}

x -> e^{-pi/2 *e₁e₂} x e^{pi/2 *e₁e₂}

也就是只要找到旋转平面里面两个角度为 theta/2的向量，就可以用来旋转空间任意vector。MultiVector也可以， 比如

xy -> RxR^(-1) RyR^(-1) = RxyR^(-1)

旋转等于反射再反射，又等于一个“复”反射。有点玄妙。

这只在三维旋转中有效吧？SO(3)可以看成是以某一单位向量为旋转轴旋转一角度theta。SO(n)中有theta这个概念吗？

[Caravel]

旋转等于反射再反射，又等于一个“复”反射。有点玄妙。

这只在三维旋转中有效吧？SO(3)可以看成是以某一单位向量为旋转轴旋转一角度theta。SO(n)中有theta这个概念吗？

高维应该是成立的，这时候的旋转还是一个二维平面上的旋转。cos(theta)可以用两个vector内积表示.

[TheMatrix]

高维应该是成立的，这时候的旋转还是一个二维平面上的旋转。cos(theta)可以用两个vector内积表示.

维度上好像也不成立：SO(n)是n(n-1)/2维。而两次反射需要找两个单位向量作为反射超平面的法向量，两个单位向量的维度是2(n-1)，维度不够。

[Caravel]

维度上好像也不成立：SO(n)是n(n-1)/2维。而两次反射需要找两个单位向量作为反射超平面的法向量，两个单位向量的维度是2(n-1)，维度不够。

不是用一对矢量cover整个SO(n). 刚好有n(n-1)/2独立的矢量对, 就是n(n-1)/2独立的角度。

另外CA是用bivector表示旋转，这在高维有很大的优势，3d的情形也可以用旋转轴矢量表示，但是4d的时候，旋转轴就不唯一了，bivector更体现了旋转的本质。

[FoxMe]

反射：x -> -nxn
旋转：x - > RxR^(-1)，R是两个vector a, b 的geometry product ab

这里有点怪：x - > axa^(-1)不也是旋转吗（这里对a有限制，要保证axa^(-1)还在向量空间内）？为啥要两个向量a,b？对a,b有限制吗？

属实，spin(n) 只包括rotation，加上reflections的group叫 pin(n). Rotation在Clifford的里面也非常简洁，

基本型是
x - > RxR^(-1)

R是两个vector a, b 的geometry product ab, 也叫Versor. a，b的平面是旋转平面，比较奇怪的是a，b的夹角不是 theta 而是 theta/2.

x可以推广到clifford 代数里面一般的multi-vector。

这个旋转的idea可能是从四元数借鉴来的，但是clifford把很多不同的数学概念统一在一个框架里面。

[Caravel]

反射：x -> -nxn
旋转：x - > RxR^(-1)，R是两个vector a, b 的geometry product ab

这里有点怪：x - > axa^(-1)不也是旋转吗（这里对a有限制，要保证axa^(-1)还在向量空间内）？为啥要两个向量a,b？对a,b有限制吗？

都是共轭形式，但是旋转是定义在一个2d平面上的，需要两个向量确定，R是一个even grade member，2d空间的情形等价于复数，3d空间等价4元数。n是一个单位向量

[FoxMe]

这里有个问题：

x -> e-pi/2 *e1e2 x epi/2 *e1e2， （e1e2）^2 = -1, 类似于复数i。那么不还是x吗？还是左乘右乘旋转方向不同，得90度？

继续开头的例子，谈一谈rotation in clifford algebra （CA）

开头的例子举的例子是关于一条直线的反射，通常的reflection定义一般是指关于一个平面的reflection。假设平面的单位法向量是n, 则一个vectorx 关于平面的反射是

x -> -nxn

和之前的差不多。CA里面处理旋转是用两次reflections来实现，用3d情形举例。比如ex 旋转 90度到ey，可以看出下面两次反射的结果

1. 关于45度线1/sqrt(2)(e₁ + e₂ ) 定义的平面反射到 -ey
2. 然后关于e₂定义的xz平面反射回到e₂

两个comment
1. 这是一个简单的例子，第二部完全是多余的，直接乘以-1就可以。但是如果第二个平面不是xz平面结果并不是显然。
2. 最终矢量转动了90度，但是这两条法向量的夹角45度，只有一般。

借助于这种两次反射的方法，可以实现任意角度的旋转。 在CA里面rotation总是在一个平面里面进行，和通常的认为绕一根轴的rotation等价。 假设平面里面有两个单位向量m，n，那就可以定义旋转为

x -> -m(-nxn)m = mn x nm = R x R^ (-1)

如果mn的夹角为theta，最终x旋转的结果是2 * theta。和普通的向量代数处理不一样，这里的旋转用两个geometry product夹逼来实现。再回到上面的例子。

n = 1/sqrt(2)(e₁ + e₂ )
m = e₂

mn = 1/sqrt(2)(e₂e₁ + e₂e₂)
= 1/sqrt(2)(1 - e₁e₂) = ( cos(45) - sin(45) e₁e₂)
nm = 1/sqrt(2)(1 + e₁e₂) = ( cos(45) + sin(45) e₁e₂)

再进一步如果我们意识到 （e₁e₂）^2 = -1, 类似于复数i，那么上面的结果可以写成指数形式

mn = e^{-pi/2 *e₁e₂}
nm = e^{pi/2 *e₁e₂}

x -> e^{-pi/2 *e₁e₂} x e^{pi/2 *e₁e₂}

也就是只要找到旋转平面里面两个角度为 theta/2的向量，就可以用来旋转空间任意vector。MultiVector也可以， 比如

xy -> RxR^(-1) RyR^(-1) = RxyR^(-1)

[Caravel]

这里有个问题：

x -> e-pi/2 *e1e2 x epi/2 *e1e2， （e1e2）^2 = -1, 类似于复数i。那么不还是x吗？还是左乘右乘旋转方向不同，得90度？

写错了了，45度是pi/4