有限群表示理论的核心定理

[Caravel]

继续之前的讨论，主要讲结果的意义和理解。

群表示理论的主要任务就是寻找不可约表示，一个群到底有多少不可约表示？对这些不可约表示有什么限制性定理么？

turns out对有限群有一个很强的定理，就是 great orthogonality theorem。这个定理我觉得用群函数理解比较容易，群函数就是群元素 {gi} 到 复数C的一个映射，假设有N个群元素，这这个函数对全定义域可以给出N个值，这N个复数可以写成一个vector。这个N维空间最多有N个正交基。每个不可约表示的矩阵元 Mij（g)都可以看成一个群函数。 great orthogonality theorem指的就是

有限群G的所有不可约表示的矩阵元构成的群函数一组正交完备的基。矩阵元群函数生成的N维向量之间正交。

每个矩阵有n^2个矩阵元，所以这个约束很强。有很多推论，极大限制了不可约表示的选择。

比如

1. 不可约表示的维度平方和 d1^2 + d2^2 + ... = N

2. 群不可约表示的数目等于等价类的数目

3. 等价类的character也就是矩阵trace， 本身也是正交完备的。

[TheMatrix]

继续之前的讨论，主要讲结果的意义和理解。

群表示理论的主要任务就是寻找不可约表示，一个群到底有多少不可约表示？对这些不可约表示有什么限制性定理么？

turns out对有限群有一个很强的定理，就是 great orthogonality theorem。这个定理我觉得用群函数理解比较容易，群函数就是群元素 {gi} 到 复数C的一个映射，假设有N个群元素，这这个函数对全定义域可以给出N个值，这N个复数可以写成一个vector。这个N维空间最多有N个正交基。每个不可约表示的矩阵元 Mij（g)都可以看成一个群函数。 great orthogonality theorem指的就是

有限群G的所有不可约表示的矩阵元构成的群函数一组正交完备的基。矩阵元群函数生成的N维向量之间正交。

每个矩阵有n^2个矩阵元，所以这个约束很强。有很多推论，极大限制了不可约表示的选择。

比如

1. 不可约表示的维度平方和 d1^2 + d2^2 + ... = N

2. 群不可约表示的数目等于等价类的数目

3. 等价类的character也就是矩阵trace， 本身也是正交完备的。

学习了一下。这个定理的确很强。

[Caravel]

学习了一下。这个定理的确很强。

群元素比较少的时候，根据这个定理基本就剩下a handful不可约表示了。感觉理论的构建也是围绕几个大定理，众星捧月一样，其他定理为这个服务，或者做延伸具体化。

[TheMatrix]

群元素比较少的时候，根据这个定理基本就剩下a handful不可约表示了。

的确。平方和那个限制太强了。

[FoxMe]

总结的很好。这个定理其实就是傅立叶变换。群上的复值函数，组成一个group ring C[G]。

Maschke定理：C[G] is semisimple.
Artin–Wedderburn 定理，Peter-Weyl 定理：它同构于一些矩阵环的直积。

而傅立叶变换就是这个同构的实现。如果是可换群，那么这些矩阵都是一维的，与普通傅立叶变换类似。普通的傅立叶变换对应于循环群。

[FoxMe]

对，共轭应该是更强的关系。共轭可以引出不变子群，商群的概念，但是我不发现这些抽象的用处

共轭类保持特征值不变，看起来须要知道所有特征值。奇怪的是，character/trace足够了，因为它提供了足够多的信息，恢复所有的特征值。

这是因为在群中， x, x^2, x^3, ...都在群里。如果你能计算：
Trace(x) = lambda_1 + lambda_2 + lambda_3 + ...
Trace(x^2) = lambda^2_1 + lambda^2_2 + lambda^2_3 + ...
Trace(x^3) = lambda^3_1 + lambda^3_2 + lambda^3_3 + ...
那么所有的特征值都能算出。

[FoxMe]

有限群G的所有不可约表示的矩阵元构成的群函数一组正交完备的基。矩阵元群函数生成的N维向量之间正交。

3. 等价类的character也就是矩阵trace， 本身也是正交完备的。

character看上去更像普通的傅立叶变换。这组正交基和“所有不可约表示的矩阵元构成的群函数一组正交完备的基”是什么关系？

[Caravel]

总结的很好。这个定理其实就是傅立叶变换。群上的复值函数，组成一个group ring C[G]。

Maschke定理：C[G] is semisimple.
Artin–Wedderburn 定理，Peter-Weyl 定理：它同构于一些矩阵环的直积。

而傅立叶变换就是这个同构的实现。如果是可换群，那么这些矩阵都是一维的，与普通傅立叶变换类似。普通的傅立叶变换对应于循环群。

对，cyclic group 对应于一个离散傅里叶变换的基。

[FoxMe]

Unitarity theorem. Any finite-dimensional representation of a finite group G is equivalent to a unitary representation.

噢，这是great orthogonality theorem的一部分，即每一块都可以是正交的。

[FoxMe]

所有的character组成对偶群，傅立叶变换当然定义在对偶群上。

群表示的要求F(g1 * g2) = F(g1) * F(g2)，这应该也是傅立叶变换的本质特征，但是我不知道怎么解释。

可能类似于exp{j(x+y)}=exp{jx}exp{jy}，这两个*号不一样。

[TheMatrix]

所有的character组成对偶群，傅立叶变换当然定义在对偶群上。

群表示的要求F(g1 * g2) = F(g1) * F(g2)，这应该也是傅立叶变换的本质特征，但是我不知道怎么解释。

可能类似于exp{j(x+y)}=exp{jx}exp{jy}，这两个*号不一样。

群上的傅立叶变换怎么定义的？所有的character组成一个群？怎么定义的乘法？

[Caravel]

所有的character组成对偶群，傅立叶变换当然定义在对偶群上。

群表示的要求F(g1 * g2) = F(g1) * F(g2)，这应该也是傅立叶变换的本质特征，但是我不知道怎么解释。

可能类似于exp{j(x+y)}=exp{jx}exp{jy}，这两个*号不一样。

傅里叶级数是起源是周期性，有限群也有周期性，就是同一个g不停操作就会返回自身。两种有某种可类比想

[FoxMe]

群上的傅立叶变换怎么定义的？所有的character组成一个群？怎么定义的乘法？

如果知道了一个群的所有表示，那么傅立叶变换的定义类似于普通的傅立叶变换：

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... efinitions

其值可能是矩阵。对于有限可换群，用character就可以了，都是标量。

对于非可换群，character和群的表示是同构的，但是具体是什么关系我还没搞懂。

[TheMatrix]

如果知道了一个群的所有表示，那么傅立叶变换的定义类似于普通的傅立叶变换：

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... efinitions

其值可能是矩阵。对于有限可换群，用character就可以了，都是标量。

对于非可换群，character和群的表示是同构的，但是具体是什么关系我还没搞懂。

这个我看了。很好。有点疑问。

可交换群的不可约表示都是一维的，矩阵就是数，所以这种定义的傅里叶变换和Discrete傅里叶变换等价。

不可交换群，其不可约表示的维度不是固定的，那么其傅里叶变换得到的矩阵，维度也不是固定的？这个\hat{f}(\rho) 没有固定的值域？

[FoxMe]

这个我看了。很好。有点疑问。

可交换群的不可约表示都是一维的，矩阵就是数，所以这种定义的傅里叶变换和Discrete傅里叶变换等价。

不可交换群，其不可约表示的维度不是固定的，那么其傅里叶变换得到的矩阵，维度也不是固定的？这个\hat{f}(\rho) 没有固定的值域？

不固定，忽大忽小，所以逆变换要用trace.

[TheMatrix]

可交换群的不可约表示都是一维的，矩阵就是数，所以这种定义的傅里叶变换和Discrete傅里叶变换等价。

也不完全是等价，说是扩展。

这是群表示傅里叶变换的定义：



这是Discrete傅里叶变换的定义：

[FoxMe]

表示论 = 线性代数 + 抽象代数，把两个领域结合起来了。

不仅群有表示论，algebra等代数结构也有表示论。感觉是用矩阵的张量积,比如外积u^v可用张量积表示:

u ^ v = 1/2 (u tensor v - v tensor u)

https://math.stackexchange.com/question ... ge-product

但是我不懂这个公式为什么成立。

[Caravel]

也不完全是等价，说是扩展。

这是群表示傅里叶变换的定义：



这是Discrete傅里叶变换的定义：

看来fox讲的有道理。
逆变换的i是对所有不可约表示么？

[TheMatrix]

表示论 = 线性代数 + 抽象代数，把两个领域结合起来了。

不仅群有表示论，algebra等代数结构也有表示论。感觉是用矩阵的张量积,比如外积u^v可用张量积表示:

u ^ v = 1/2 (u tensor v - v tensor u)

https://math.stackexchange.com/question ... ge-product

但是我不懂这个公式为什么成立。

其他代数结构的表示也都是在线性空间上表示，表示出来也是矩阵。更一般的，一个代数结构A（包括群）的表示是该代数结构对线性空间V的作用 (action)，作用在一个向量上得到另一个向量，也就是这个作用是一个线性变换。\rho: A --> End(V)。更更一般的，还可以不作用在线性空间上，前面有人提过这个事，不过一般来讲就是线性空间。

外积u^v用张量表示，这个不是表示论。外代数是张量代数的商空间，商去什么呢？就是uv=-vu的关系。按照这个关系把张量空间分成等价类，等价类的集合就是外代数。或者在每个等价类中找一个representative，1/2(uv-vu) 就是这个representative。

[TheMatrix]

看来fox讲的有道理。
逆变换的i是对所有不可约表示么？

你这个问题问的对。我也有这个疑问。再往后看一点，好像是这么回事（只考虑不可约表示）。