任意边界的平面的面积 = sqrt(投影的面积的平方和)

[psgd]

看到那个“高维勾股”的帖子，我提个更一般的（seems correct，没有仔细推敲，曲面的面积就是这么计算的）。

不失一般性，只考虑一个Givens rotation。面积 S 的一块平面（边界可以是曲的，凹的），投影到xy, yz，zy的面积为

S cos(theta), S sin(theta), 0

因此 S^2 = (S cos(theta))^2 + (S sin(theta))^2 + 0^2

Givens rotations加上平移可将这个平面移到任意位置，因此这个关系式总是成立的。

update: n维的flat object镶嵌在m(>n)维欧式空间仍应该是成立的。我用平面做例子只是为了直观而已。

对于n维的parallelipipeds，直接将行列式展开成 (m choose n)个minors应该可以看到结论成立。对于boundary不规则的object，也许可通过计算所有(mxn)的矩阵张成的子空间的principal夹角来证明之。

[psgd]

老站常去葵花宝典看看，新站这个stem也不错。

btw，两次Givens rotations后当然还是成立的：

S^2 = (S cos(theta) cos(phi))^2 + (S sin(theta) cos(phi))^2 + (S sin(phi))^2

[verdelite]

看到那个“高维勾股”的帖子，我提个更一般的（seems correct，没有仔细推敲，曲面的面积就是这么计算的）。

不失一般性，只考虑一个Givens rotation。面积 S 的一块平面（边界可以是曲的，凹的），投影到xy, yz，zy的面积为

S cos(theta), S sin(theta), 0

因此 S^2 = (S cos(theta))^2 + (S sin(theta))^2 + 0^2

Givens rotations加上平移可将这个平面移到任意位置，因此这个关系式总是成立的。

你这个只限于三维中成立吗？能不能推广到高维？
你这首楼后半部分算证明吗？

[psgd]

这个应该和维度没有关系，只和“曲率=0”有关。

1维的直线，无论镶嵌在多少维的欧式空间，都有 dl^2 = sum_i dx_i^2

2维的面（边界可以是弯的），无论镶嵌在多少维的欧式空间，都应该有 dS^2 = sum_{i,j} (dx_i dx_j)^2。找到S与各个平面 dx_i dx_j的principal的夹角应该可以证明这个

...

我只是看到FGH的帖子便提到这些。

[psgd]

找到那些principal angles，应该有 sum_{i,j} (cos(principal angle_{i,j}))^2 = 1。
应该是很一个很fundamental的结论，一时想不起来出去了。manifold上算体积，曲率等好像常用到这些东西。
基本是在计算两个subspace的principal angles，和那个面的边界没有任何关系，和嵌入的空间的维数也无关。

[（ヅ）]

看到那个“高维勾股”的帖子，我提个更一般的（seems correct，没有仔细推敲，曲面的面积就是这么计算的）。

不失一般性，只考虑一个Givens rotation。面积 S 的一块平面（边界可以是曲的，凹的），投影到xy, yz，zy的面积为

S cos(theta), S sin(theta), 0

因此 S^2 = (S cos(theta))^2 + (S sin(theta))^2 + 0^2

Givens rotations加上平移可将这个平面移到任意位置，因此这个关系式总是成立的。

这个问题你如果把这块平面用面积向量来表示，是很直观的结果：

任意空间平面面积S(scalar)以及其单位法向量n(vector)构成的面积向量S\cdot n，在(x-y)平面上的投影是S\cdot (n\cdot z)，就是S* (n和z的内积),另外两个平面同理

所以命题等价于，对于任意一个单位向量v,要证明(v\cdot x)^2 + (v\cdot y)^2 + (v\cdot z)^2 = 1. 这等价于(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = 1，即v是单位向量，which already holds by assumption.

[psgd]

针对“高维勾股定理”帖子的延申。

你可以证明 “n维嵌入m（>=n）维” 的一般情形的case。

[psgd]

你这个只限于三维中成立吗？能不能推广到高维？
你这首楼后半部分算证明吗？

再回头看看FGH楼的回帖，大家的回复已经很深入讨论了。我只是强调说boundary不规则时结论任成立，和维度没有太大关系。

[rgg]

针对“高维勾股定理”帖子的延申。

你可以证明 “n维嵌入m（>=n）维” 的一般情形的case。

只有n-1维超平面在n维空间有法向量。所以对于m<n-1, 推广是不显然的。那个行列式求和式Cauchy–Binet formula是最根本的,而不是overkill.

[YWY]

针对“高维勾股定理”帖子的延申。

你可以证明 “n维嵌入m（>=n）维” 的一般情形的case。

对的，和维数无关，如你所说只依赖于曲率为零。这个曲率为零，用代数语言就是（可能需要平移后）线性子空间然后加上边界限制。

不过我提一下，楼主你的标题里的sqrt应该去掉，因为你等式左边已经是面积的平方了。我知道这是你的笔误，你本想说面积 = sqrt(...平方和)。

[YWY]

只有n-1维超平面在n维空间有法向量。所以对于m<n-1, 推广是不显然的。那个行列式求和式Cauchy–Binet formula是最根本的,而不是overkill.

一般维数也可以，我的直觉告诉我，可以这样考虑（就以二维嵌入四维为例）：通过平移，我们假设被嵌入的是一个2维线性子空间，外围空间是4维空间R^4，标准基记作e_1, e_2, e_3, e_4。（随便）选定子空间的一组单位正交基，记作b_1, b_2，然后扩展成R^4的单位正交基b_1, b_2, b_3, b_4，我们关注的是b_3, b_4，其实就是原来子空间的正交空间的（随便）一组单位正交基。现在就可以看子空间（被嵌入平面）的面积S和投影面积的关系了。例如，把该嵌入平面投向e_1和e_3张成的空间（相当于4维xyzw空间里的xz平面）的话，就考虑b_3, b_4, e_2, e_4构成的方阵的行列式，嵌入平面在xz平面上的投影面积就是嵌入平面的面积S乘以行列式的绝对值。

如楼主所说，和维数无关，m维嵌入n维（m小于等于n）都可以，和我上面说的一样，用单位正交基考虑即可。

[rgg]

一般维数也可以，我的直觉告诉我，可以这样考虑（就以二维嵌入四维为例）：通过平移，我们假设被嵌入的是一个2维线性子空间，外围空间是4维空间R^4，标准基记作e_1, e_2, e_3, e_4。（随便）选定子空间的一组单位正交基，记作b_1, b_2，然后扩展成R^4的单位正交基b_1, b_2, b_3, b_4，我们关注的是b_3, b_4，其实就是原来子空间的正交空间的（随便）一组单位正交基。现在就可以看子空间（被嵌入平面）的面积S和投影面积的关系了。例如，把该嵌入平面投向e_1和e_3张成的空间（相当于4维xyzw空间里的xz平面）的话，就考虑b_3, b_4, e_2, e_4构成的方阵的行列式，嵌入平面在xz平面上的投影面积就是嵌入平面的面积S乘以行列式的绝对值。

如楼主所说，和维数无关，m维嵌入n维（m小于等于n）都可以，和我上面说的一样，用单位正交基考虑即可。

没说结论不能推广，而是说单位法向量的投影这个直觉不好推广，不如直接用外代数/行列式公式思考.

[Caravel]

标题不对吧，面积的平方 = 平方和

[YWY]

没说结论不能推广，而是说单位法向量的投影这个直觉不好推广，不如直接用外代数/行列式公式思考.

同意。人类的直觉大都依赖于3维空间，超过3维就要靠抽象的数学公式来推广。

[psgd]

标题不对吧，面积的平方 = 平方和

已更正

[psgd]

再follow up了一下，

1，Cauchy-Binet公式是很有效。但这个帖子更关心的是非parallelipipeds的形状，如disk。
2，对于非parallelipipeds的形状，如disk，应该是 “flat的面积 <= sqrt(投影的面积的平方和)”，算了几个数值解，=号好像只有在很特定的条件下才成立

[psgd]

再follow up了一下，

1，Cauchy-Binet公式是很有效。但这个帖子更关心的是非parallelipipeds的形状，如disk。
2，对于非parallelipipeds的形状，如disk，应该是 “flat的面积 <= sqrt(投影的面积的平方和)”，算了几个数值解，=号好像只有在很特定的条件下才成立

2 里的 = 号 还是对的。昨天算两个subspace的夹角搞错了，不应该采用wiki里“angle between flat”里的角度。

例如unit area disc所在的平面是 M*a, M是4x2的矩阵，满足 M'*M = [1,0;0,1]，a是任意2x1的向量。disc投影到平面 [e1, e2]*a 的面积是

|det([M, e1, e2])|

所有这些面积的平方和还是1，i.e.,

sum_{1<=i<j<=4} |det([M, e_i, e_j])|^2 = 1

至此可以说FGH那个帖子里的结论应该对任意flat的物体都是成立的，与其边界的形状无关，与其维度无关，但这个结论仍需要一个严格的证明。

[YWY]

2 里的 = 号 还是对的。昨天算两个subspace的夹角搞错了，不应该采用wiki里“angle between flat”里的角度。

例如unit area disc所在的平面是 M*a, M是4x2的矩阵，满足 M'*M = [1,0;0,1]，a是任意2x1的向量。disc投影到平面 [e1, e2]*a 的面积是

|det([M, e1, e2])|

所有这些面积的平方和还是1，i.e.,

sum_{1<=i<j<=4} |det([M, e_i, e_j])|^2 = 1

至此可以说FGH那个帖子里的结论应该对任意flat的物体都是成立的，与其边界的形状无关，与其维度无关，但这个结论仍需要一个严格的证明。

disc投影到平面 [e1, e2]*a 的面积应该是 |det([M, e3, e4])|

[psgd]

disc投影到平面 [e1, e2]*a 的面积应该是 |det([M, e3, e4])|

是的，你的是对的! 谢谢更正。

将 M 块分成 [M1, M2]，然后 [M, e3, e4] 可以块分成 [M1, O; M2, I]，然后

det([M1, O; M2, I]) = det(M1) det(I) = det(M1)

这样就将这个“几何的方法”和Cauchy-Binet公式对应起来了，也就证明了这个帖子的结论。