Galois cohomology

[TheMatrix]

https://www.zhihu.com/question/61000215 ... 4351678535

[FoxMe]

Galois cohomology就是Galois群上的cohomology。起因之一是class field tower problem：

Is there a number field with an infinite class field tower?

具体是啥？还没搞懂

[FoxMe]

Number Theory is the study of G = Gal(Q ̄ /Q), the group of automorphisms of the algebraic closure Q ̄, and the sets G naturally acts on. The following question, for example, is an open problem: is every finite group a quotient of G?

Galois cohomology involves studying the group G by applying homological algebra. This provides a natural way to classify objects, e.g. twists of a curve, and linearizes problems by defining new invariants, revealing previously hidden structure.

[FoxMe]

首先要理解Galois module的概念：

Galois module is a G-module, with G being the Galois group。

G-module就是group ring Z[G]上的模。比如Then the ring O_L of algebraic integers of L can be considered as an O_K[G]-module, and one can ask what its structure is.

然后研究G作用在Galois module上。这是Galois representation的基本问题。

[TheMatrix]

Galois cohomology就是Galois群上的cohomology。起因之一是class field tower problem：

Is there a number field with an infinite class field tower?

具体是啥？还没搞懂

我知道cohomology研究的是xx的obstruction，但是还没有建立具体的图像。

[TheMatrix]

首先要理解Galois module的概念：

Galois module is a G-module, with G being the Galois group。

G-module就是group ring Z[G]上的模。比如Then the ring O_L of algebraic integers of L can be considered as an O_K[G]-module, and one can ask what its structure is.

然后研究G作用在Galois module上。这是Galois representation的基本问题。

对。群表示，群作用，group algebra 模，这三个差不多是同一个意思。哦。在加上G-module，这四个差不多是同一个意思。

[FoxMe]

来看几个简单的例子。令G=Gal(L/K), A=L*.

H⁰(G, A) = A^G = {a ∈ A : s.a = a for all s ∈ G} = K*. 这个trivial情况没啥意思，只是定义。有意思的是：

H¹(G, A) = 0. 搞懂这个结果都不容易，首先要知道

We define H¹(G, A) as 1-cocycles modulo an equivalence relation. Here, a 1-cocycle is a set-theoretic map G → A, s → a_s such that a_st = a_s.s(a_t), and we say a_s ∼ b_s if there exists an a ∈ A with b_s = a⁻¹.a_s.s(a) for all s ∈ G.

https://wstein.org/edu/2010/582e/lectur ... mology.pdf

首先要理解啥是cocycle, coboundary... 先得理解chain complex/cohomology:

https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_complex#Definitions

Elements of ker(dn) are called n-cocycles, while elements of im(dn−1) are called n-coboundaries.

[FoxMe]

Brauer group of a field K

Br(K) = H² (K, (K^sep)^*) 理解为

Br(K) = H² ( Gal(K^sep / K), (K^sep)^*)

这是infinite extension，留待以后再看

[TheMatrix]

来看几个简单的例子。令G=Gal(L/K), A=L*.

H⁰(G, A) = A^G = {a ∈ A : s.a = a for all s ∈ G} = K*. 这个trivial情况没啥意思，只是定义。有意思的是：

H¹(G, A) = 0. 搞懂这个结果都不容易，首先要知道

We define H¹(G, A) as 1-cocycles modulo an equivalence relation. Here, a 1-cocycle is a set-theoretic map G → A, s → a_s such that a_st = a_s.s(a_t), and we say a_s ∼ b_s if there exists an a ∈ A with b_s = a⁻¹.a_s.s(a) for all s ∈ G.

https://wstein.org/edu/2010/582e/lectur ... mology.pdf

首先要理解啥是cocycle, coboundary... 先得理解chain complex/cohomology:

https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_complex#Definitions

Elements of ker(dn) are called n-cocycles, while elements of im(dn−1) are called n-coboundaries.

一般的group cohomology是很抽象的。和Galois group联系在一起的稍微具体一点。但也是很难的。有点抡不动的感觉。

[FoxMe]

基本看懂了。这里解释了，这里的加法相当于上面的乘法。但是下面这句话没看懂：

If φ ∈ HomG(P0,A) then there is an a∈A sucht hat φ() = a.

一般的group cohomology是很抽象的。和Galois group联系在一起的稍微具体一点。但也是很难的。有点抡不动的感觉。

这里的群具体化了，就是group ring。free resolution是什么意思？就是P0, P1, P2等等都是free module，但是一般而言Z那个位置不一定是free module，可以是一般的module M. 但是resolution怎么翻译？

cycle(圆圈), boundary（边界）等概念都是从拓扑中来的。

d这个映射也不明所以。

[FoxMe]

A^G = Hom_G (Z,A)，为啥？

[TheMatrix]

Z怎么作为G-module？或者是给定的一个G action？

resolution好像翻译为预解式。

这里的群具体化了，就是group ring。free resolution是什么意思？就是P0, P1, P2等等都是free module，但是一般而言Z那个位置不一定是free module，可以是一般的module M. 但是resolution怎么翻译？

cycle(圆圈), boundary（边界）等概念都是从拓扑中来的。

d这个映射也不明所以。

[FoxMe]

Z是trivial G-module, 即g(a) = a, a∈Z.

Hom_G (Z,A)≅A^G就是从定义来的：f(g⋅1)=g⋅f(1) becomes
f(1)=g⋅f(1), so a group homomorphism f:Z→A is determined by f(1)=a∈A.

a=g⋅a for all g.
a∈A^G (the fixed points of G in A).

Hence,
Hom_G (Z,A)≅A^G

Z怎么作为G-module？或者是给定的一个G action？

resolution好像翻译为预解式。

[FoxMe]

If φ ∈ HomG(P0,A) then there is an a∈A sucht hat φ() = a.

差不多的解释，也是考察φ(e)，这里e是G的单位元。也是根据G-homomorphism的定义
f(g⋅b)=g⋅f(b)
因为是G-module，这里的g相当于普通module的标量（环中的元素），可以提出来。

[TheMatrix]

Z是trivial G-module, 即g(a) = a, a∈Z.

Hom_G (Z,A)≅A^G就是从定义来的：f(g⋅1)=g⋅f(1) becomes
f(1)=g⋅f(1), so a group homomorphism f:Z→A is determined by f(1)=a∈A.

a=g⋅a for all g.
a∈A^G (the fixed points of G in A).

Hence,
Hom_G (Z,A)≅A^G

嗯。对。

[FoxMe]

H1(G, A) = 0有啥用？来了

但是怎么看出c, d是整数？噢，分母相同，只要上下约分就行了。

[TheMatrix]

做一下脑力游戏。doesn't lead me anywhere...

---

Z也可以看成是Z[e]=Z[G⁰]也就是只有一个元素生成的Z-module。

这样就和P₀,P₁...统一了：

P₀=Z[G]=Z[G¹]
P₁=Z[GxG]=Z[G²]
P₂=Z[GxGxG]=Z[G³]
...

然后
... --> P₂ --> P₁ --> P₀ --> Z --> 0

就变成了：
... --> Z[G³] --> Z[G²] --> Z[G¹] --> Z[G⁰]=Z --> 0

---

free G-module也就是free Z[G]-module，也就是free R-module with R=Z[G]。

free R-module有点像vector space一样有一组基，有固定的维度，就是基的个数。但是它不是over a field，而是over a ring R。。。而且任意r ∈ R乘都不等于0。对，这个叫free，无torsion。

[TheMatrix]

resolution就是一个chain of homomorphism，要求exact，也就是前面的image在后面的kernel之中：Im(d_i+1) ⊆ Ker(d_i)，也就是d_id_i+1=0，助记为dd=0，或者d²=0.

resolution这个概念是怎么想到的我也不知道，我觉得有点玄妙。因为resolution不是唯一的，far from unique，看起来比较任意。

resolution可以看成是一个节点一个节点延申出来的，比如第一个节点，也就是端点Z是固定的，发展出前面的一个节点P₀，要求第一个homomorphism，d₀: P₀ --> Z，是满射，也就是P₀ --> Z --> 0。这样的P₀有很多个，因为d₀是可以设计的。你只要设计出一个满射就行了。

有了P₀和d₀，可以再往前发展P₁和d₁，仍然具有很大的任意性：只要满足d₀d₁=0就行了。

然后就这样往前发展上去，(P₂,d₂), (P₃,d₃),...，每一步都具有任意性，只要满足dd=0就行了。

但是，据说，有一个东西不具有任意性，就是
H¹ = Ker(d₀)/Im(d₁)
H² = Ker(d₁)/Im(d₂)
H³ = Ker(d₂)/Im(d₃)
……

也就是不管你怎么具有任意性的往前发展，其比值不变。这个不变的比值，“显然”，和G有关系。因为什么都可以变，什么都是任意的，P_i的发展具有任意性。（端点Z任意性少一点，最开始定下来的）。只有G，是最开始定下来的，每一步都参与，（对，往前发展P_i的时候，要求每一步P_i都是free G-module）。所以这个比值一定和G有关系。反应了G的性质。

这个比值，就叫G的cohomology.

[FoxMe]

上面的d就是干这个事的，每次都降维。

a resolution is an exact sequence of modules that is used to define invariants characterizing the structure of a specific module.

这个作用很厉害，不仅是G，还能刻画最终那个module M（上面的Z是特例）的性质。

Every R-module possesses a free left resolution. The proof idea is to define E0 to be the free R-module generated by the elements of M, and then E1 to be the free R-module generated by the elements of the kernel of the natural map E0 → M etc.

这个证明也很简单，可以说是显而易见的。

做一下脑力游戏。doesn't lead me anywhere...

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Z也可以看成是Z[e]=Z[G⁰]也就是只有一个元素生成的Z-module。

这样就和P₀,P₁...统一了：

P₀=Z[G]=Z[G¹]
P₁=Z[GxG]=Z[G²]
P₂=Z[GxGxG]=Z[G³]
...

然后
... --> P₂ --> P₁ --> P₀ --> Z --> 0

就变成了：
... --> Z[G³] --> Z[G²] --> Z[G¹] --> Z[G⁰]=Z --> 0

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free G-module也就是free Z[G]-module，也就是free R-module with R=Z[G]。

free R-module有点像vector space一样有一组基，有固定的维度，就是基的个数。但是它不是over a field，而是over a ring R。。。而且任意r ∈ R乘都不等于0。对，这个叫free，无torsion。

[FoxMe]

Hilbert's syzygy theorem states that, if M is a finitely generated module over a polynomial ring k[x_1,... ,x_n] in n indeterminates over a field k, then the nth syzygy module of M is always a free module.

也就是说，这样的M一定有n级free resolution。