等差的三个平方数、地球ETO组织、三体人

[TheMatrix]

通解： for any integers a and b
y=a² + b²
x + z*i = (1 ± i)*(a + b * i)²

好像不对吧。试一下
a=b=1
y=2
x=-2
z=2

[FoxMe]

我得到的是：
x=((2m^2+1)x_0 - (4m) y_0)/(2m^2-1)
y=(x+x_0)/(2m) -y_0

y_0前面有个系数(4m)。

噢，我算错了。这个画直线得交点的方法，除了椭圆曲线之外，还可以用于求所有的勾股数x^2+y^2=z^2。此法还可以用于什么问题？

[TheMatrix]

噢，我算错了。这个画直线得交点的方法，除了椭圆曲线之外，还可以用于求所有的勾股数x^2+y^2=z^2。此法还可以用于什么问题？

高次方程上不知道能怎么推广一下。可能不行了：椭圆曲线上过两个点可以找第三个点，四次方程上要过三个点找第四个点。三点共线这个要求好像不合理。

[yilou]

显然这是平方差为0的情形。要想排除0的情形只需要a≠b。
这个通解两百年前Gauss就有了。三姐夫说这个是Gauss integer quadratic ring UFD Z[ i ]里的elementary result, 还说了一堆class number one之类的。
我一个文科生不是很懂，但是ctrl-c/ctrl-p还是驾轻就熟的

好像不对吧。试一下
a=b=1
y=2
x=-2
z=2

[TheMatrix]

显然这是平方差为0的情形。要想排除0的情形只需要a≠b。
这个通解两百年前Gauss就有了。三姐夫说这个是Gauss integer quadratic ring UFD Z[ i ]里的elementary result, 还说了一堆class number one之类的。
我一个文科生不是很懂，但是ctrl-c/ctrl-p还是驾轻就熟的

哦对。是我糊涂了。我在想的是x²+1=2y²。

你这个展开就是：
x,z= a²±2ab-b²
y=a²+b²

是。这个问题是Pell方程，有好几种解法：
1，连分数：https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
2，考虑x²+1=2y²。x=(Aⁿ+Bⁿ)/2, y=(Aⁿ-Bⁿ)/(2√2) where A,B = 1±√2, n be odd. Also see https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
3，Gauss integer - 就是你这里的解法。
4，与有理直线的交点 - 参考椭圆曲线交点的方法。

[TheMatrix]

哦对。是我糊涂了。我在想的是x²+1=2y²。

你这个展开就是：
x,z= a²±2ab-b²
y=a²+b²

是。这个问题是Pell方程，有好几种解法：
1，连分数：https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
2，考虑x²+1=2y²。x=(Aⁿ+Bⁿ)/2, y=(Aⁿ-Bⁿ)/(2√2) where A,B = 1±√2, n be odd. Also see https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
3，Gauss integer - 就是你这里的解法。
4，与有理直线的交点 - 参考椭圆曲线交点的方法。

Windows 10计算机能画图了。画的还不错。这个是y²=x³-2x+1的图。



用Python numpy x-y坐标画的话，垂直x轴的地方还不好画。

[yilou]

确实有无穷多解even if restricted to coprime ones.
三姐夫说这里真正困难的是找到三组a，b产生相同的平方差D
也就是需要三组a，b同时满足
4ab(a^2-b^2) = D
如果假设三组解有相同的a，就要求b(a^2-b^2) = D/(4a)有三个整数解。这个可以利用quadratic ring 同样是UFD的Z [ ξ ] 来求解, where ξ = (1+sqrt(-3))/2
sum(b) = 0
=>
there exist integers p and q which are solutions for b such that
a^2 = p^2 + pq + q^2 = Norm(p + qξ)
=> (using the fact that it's UFD)
p + qξ = (m + nξ)^2
a = Norm(m + nξ) = m^2 + mn + n^2 where m and n are any natural numbers satisfying m >n > 0 .
=>
three solutions for b (by checking coefficients of (m + nξ)^2 and noting ξ^2 = ξ - 1)：m^2 - n^2, 2mn + n^2, - ( m^2 + 2mn)

显然有无穷多解, 因为唯一的限制是m>n>0.
最小的解应该是m=2, n=1
=>a = 7, b = 3, 5, -8， 平方差D = 3360
=>y = a^2 + b^2 = 58, 74, 113
也就是下面（ヅ）搜出的第一组解。

m=3, n=1
=>a = 13, b = 7, 8, -15, D = 43680
=>y = 218, 233, 394
对应下面第二个

m = 3， n=2 (m=4,n=1不是coprime）
=> a = 19, b = 5, 16, -21, D = 127680
=>y = 386, 617, 802
对应下面第三个

以此类推，可以得到下面没有给出的第四个copime组合应该是m=5,n=1 ((4,1),(4,2)都不是coprime）
=> a = 31, b = 11, 24, -35， D= 1145760
=> y = 1082， 1537， 2186
x = 158, 1103, 1906
z = 1522, 1873, 2434

可以看到如果要求copime的话，就要求a is prime number in Z同时not a prime in Z [ ξ ]. 这就要求a 是一个素数，同时 a ≡ 1 mod 6 (apply Artin Symbol/Frobenius map to Z [ ξ ] and Jacobi symbol (-3/a) to get reciprocity).

to summarize, 生成三组a，b有相同平方差且coprime的algo
1. for any prime number a, check if a ≡ 1 mod 6
2. if yes, factor a in Z [ ξ ] to get a = Norm(m + nξ) and (m, n)
(or equivalently, start with any m>n>0, compute Norm(m + nξ) and check if it's prime and satisfies 1. if yes, (m,n) can be applied to generate (a,b), (x,y,z).)
显然有无穷多素数满足1.

通解： for any integers a and b
y=a² + b²
x + z*i = (1 ± i)*(a + b * i)²

也在想这个问题，猜测可能是无穷多

上面就有3组
x = 2, y = 58, z = 82, diff = 3360
x = 46, y = 74, z = 94, diff = 3360
x = 97, y = 113, z = 127, diff = 3360

x = 62, y = 218, z = 302, diff = 43680
x = 103, y = 233, z = 313, diff = 43680
x = 334, y = 394, z = 446, diff = 43680


x = 146, y = 386, z = 526, diff = 127680
x = 503, y = 617, z = 713, diff = 127680
x = 718, y = 802, z = 878, diff = 127680

[FoxMe]

哦对。是我糊涂了。我在想的是x²+1=2y²。

你这个展开就是：
x,z= a²±2ab-b²
y=a²+b²

是。这个问题是Pell方程，有好几种解法：
1，连分数：https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
2，考虑x²+1=2y²。x=(Aⁿ+Bⁿ)/2, y=(Aⁿ-Bⁿ)/(2√2) where A,B = 1±√2, n be odd. Also see https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
3，Gauss integer - 就是你这里的解法。
4，与有理直线的交点 - 参考椭圆曲线交点的方法。

总结的不错！

[kde23]

试给个"通解"，结论如下：
对任意两个整数u,v， 令
x = x(u,v) = u^2 + 2uv - v^2
y = y(u,v) = u^2 + v^2
z = z(u,v) = u^2 - 2uv - v^2
则可验证 x^2-y^2 = y^2-z^2
记 f(u,v) = x^2 - y^2 = (u^2 + 2uv - v^2)^2 - (u^2 + v^2)^2
则也有 f(u,v) = y^2 - z^2

设m为任意整数，令
p = m^2+m+1
q = 2m+1
r = m^2-1

则经过计算，可知
f(p,q) = f(p, r) = f(q+r, p)

因此，对应于每个整数m，可有以下三组数满足题设：

x1 = x(p,q) = p^2 +2pq - q^2 = (m^2+m+1)^2 + 2(m^2+m+1)(2m+1) - (2m+1)^2
y1 = y(p,q) = p^2 + q^2 = (m^2+m+1)^2 + (2m+1)^2
z1 = z(p,q) = p^2 - 2pq - q^2 = (m^2+m+1)^2 - 2(m^2+m+1)(2m+1) - (2m+1)^2

x2 = x(p,r) = p^2 + 2pr - r^2 = (m^2+m+1)^2 + 2(m^2+m+1)(m^2-1) - (m^2-1)^2
y2 = y(p,r) = p^2 + r^2 = (m^2+m+1)^2 + (m^2-1)^2
z2 = z(p,r) = p^2 - 2pr - r^2 = (m^2+m+1)^2 - 2(m^2+m+1)(m^2-1) - (m^2-1)^2

x3 = x(q+r, p) = (m^2+2m)^2 + 2(m^2+2m)(m^2+m+1) - (m^2+m+1)^2
y3 = y(q+r, P) = (m^2+2m)^2 + (m^2+m+1)^2
z3 = z(q+r, p) = (m^2+2m)^2 - 2(m^2+2m)(m^2+m+1) - (m^2+m+1)^2

取m=2,3,... 我们就可得到无穷满足题意的解
例如 m=2:
(x,y,z) = (94,74,-46), (82,58,-2), (127, 113, -97)
94^2-74^2 = 74^2-46^2 = 82^2-58^2 = 58^2-2^2 = 127^2-113^2 = 113^2-97^2 = 3360
m=3:
(x,y,z)= (302,218,-62), (313,233,-103), (446,394,-334)
302^2-218^2 = 218^2-62^2 = 313^2-233^2 = 233^2-103^2 = 446^2-394^2 = 394^2-334^2 = 43680

此通是可以通过楼上提到的求有理点的类似方法得到。

[san721]

大史老师布置了一个习题：写出三个不同的平方数，他们之间有等差关系。就是说，z^2-y^2=y^2-x^2。不许相互讨论通气。

结果三个好朋友学生交上作业后，老师给了0分。学生很委屈，说，我们三人给的答案各不相同，怎么能说我们讨论通气呢？老师说，你们看看，你们是好朋友，还有，你们的答案虽然各不相同，但是你们的答案里，那差值却是一样的。

后来证实，这三个人被三体人发展为ETO组织成员。他们做作业的方法就是问三体人给他们提供的chatGPT接口。chatGPT先是给了三个一样的答案，结果他们说不行。chatGPT就给了他们这交上来的三个不同答案，但是可能理解题意偏差，给的三个答案却享用同一个差值。这是一个科幻小说里面的一个情节。

放开小说不说，那么你知道他们的答案是什么吗？

(原先写成ECO，现在改了）

才发现题都没读全就在开黄腔了，汗。

如果K>0是公差，原题相当于椭圆曲线E_K: y^2=x^3-K^2x上有三个以上的整点，而且每点都是E_K上某一非torsion有理点的2倍。现在的问题是问是否存在无穷多的这种K。我猜测答案是Yes，但证明应该是无望的。这是非常难的一道题。

[san721]

才发现题都没读全就在开黄腔了，汗。

如果K>0是公差，原题相当于椭圆曲线E_K: y^2=x^3-K^2x上有三个以上的整点，而且每点都是E_K上某一非torsion有理点的2倍。现在的问题是问是否存在无穷多的这种K。我猜测答案是Yes，但证明应该是无望的。这是非常难的一道题。

如果原来的条件换成"等差数列a, b, c满足abc为平方数，而且要求相同公差有两组以上答案"，貌似简单了很多，其实难度是差不多的。当然通过计算机找例子会容易得多。

[TheMatrix]

才发现题都没读全就在开黄腔了，汗。

如果K>0是公差，原题相当于椭圆曲线E_K: y^2=x^3-K^2x上有三个以上的整点，而且每点都是E_K上某一非torsion有理点的2倍。现在的问题是问是否存在无穷多的这种K。我猜测答案是Yes，但证明应该是无望的。这是非常难的一道题。

怎么会出现立方？

[san721]

怎么会出现立方？

y^2=x^3-K^2x=(x-K)x(x+K)。对于这种有full 2-torsion的椭圆曲线，(x, y)是一有理点的2倍if and only if x-K, x及x+K都是有理数的平方。x是整数的话，正好x-K, x及x+K都是整数平方。

[san721]

才发现题都没读全就在开黄腔了，汗。

如果K>0是公差，原题相当于椭圆曲线E_K: y^2=x^3-K^2x上有三个以上的整点，而且每点都是E_K上某一非torsion有理点的2倍。现在的问题是问是否存在无穷多的这种(square-free的)K。我猜测答案是Yes，但证明应该是无望的。这是非常难的一道题。

[TheMatrix]

y^2=x^3-K^2x=(x-K)x(x+K)。对于这种有full 2-torsion的椭圆曲线，(x, y)是一有理点的2倍if and only if x-K, x及x+K都是有理数的平方。x是整数的话，正好x-K, x及x+K都是整数平方。

没明白为什么x-K, x及x+K三个数要相乘。

不过原题中说三个人给出的答案中的差值是相同的。这个要求在前面的回答中都没用上。你是要满足这个要求吗？

[san721]

没明白为什么x-K, x及x+K三个数要相乘。

不过原题中说三个人给出的答案中的差值是相同的。这个要求在前面的回答中都没用上。你是要满足这个要求吗？

我收回我第一个贴子了。这些E_K都是某一条曲线的二次扭曲线(quadratic twists)。对于generic的一条椭圆曲线，证明其有无穷多的二次扭曲线包含起码三个整点应该是非常难的。但对于某些特殊曲线，可能能构造出满足条件的quadratic twists。我其实是刚看到了kde23的贴子才醒悟过来，lol。

原题不是要求成等差的三个平方数吗？如果椭圆曲线是y^2=x(x-a)(x-b)的形式，而且P是其上面的一有理点，那么2P的坐标(x,y)满足x，x-a，x-b都为有理数平方。所以如果(x,y)是E_K: y^2=x^3-K^2x=x(x-K)(x+K)上一整点，而且是某一有理点的2倍，那x, x-K,x+K不都是有理数(从而整数)平方了吗？所有就有公差为K的三平方数了。对于一般的一条椭圆曲线，构造无穷多的quadratic twists使其每条都包含起码一无穷阶的整点是很容易的(尽管不能保证其为某有理点2倍)，但要确保有两个以上整点就很难了。

[TheMatrix]

我收回我第一个贴子了。这些E_K都是某一条曲线的二次扭曲线(quadratic twists)。对于generic的一条椭圆曲线，证明其有无穷多的二次扭曲线包含起码三个整点应该是非常难的。但对于某些特殊曲线，可能能构造出满足条件的quadratic twists。我其实是刚看到了kde23的贴子才醒悟过来，lol。

原题不是要求成等差的三个平方数吗？如果椭圆曲线是y^2=x(x-a)(x-b)的形式，而且P是其上面的一有理点，那么2P的坐标(x,y)满足x，x-a，x-b都为有理数平方。所以如果(x,y)是E_K: y^2=x^3-K^2x=x(x-K)(x+K)上一整点，而且是某一有理点的2倍，那x, x-K,x+K不都是有理数(从而整数)平方了吗？所有就有公差为K的三平方数了。对于一般的一条椭圆曲线，构造无穷多的quadratic twists使其每条都包含起码一无穷阶的整点是很容易的(尽管不能保证其为某有理点2倍)，但要确保有两个以上整点就很难了。

我回去看了一下kde123的贴，才明白原题中三个人都找到的等差三元组(x²,y²,z²)的三个公差是一样的。这个要求不容易表达，尤其是用自然语言。当时我看到了，看了一遍没看懂，当成故事情节了。加了这个要求确实要难一些了。

[TheMatrix]

试给个"通解"，结论如下：
对任意两个整数u,v， 令
x = x(u,v) = u^2 + 2uv - v^2
y = y(u,v) = u^2 + v^2
z = z(u,v) = u^2 - 2uv - v^2
则可验证 x^2-y^2 = y^2-z^2
记 f(u,v) = x^2 - y^2 = (u^2 + 2uv - v^2)^2 - (u^2 + v^2)^2
则也有 f(u,v) = y^2 - z^2

用有理点的方法可以得到上一步。

但是很难得到下一步。这一步有方法吗？

设m为任意整数，令
p = m^2+m+1
q = 2m+1
r = m^2-1

则经过计算，可知
f(p,q) = f(p, r) = f(q+r, p)

[TheMatrix]

试给个"通解"，结论如下：
对任意两个整数u,v， 令
x = x(u,v) = u^2 + 2uv - v^2
y = y(u,v) = u^2 + v^2
z = z(u,v) = u^2 - 2uv - v^2
则可验证 x^2-y^2 = y^2-z^2
记 f(u,v) = x^2 - y^2 = (u^2 + 2uv - v^2)^2 - (u^2 + v^2)^2
则也有 f(u,v) = y^2 - z^2

哦，你得到的这个表达式比较简单：
x²-y² = y²-z²
=4u³v - 4uv³

然后是“看”出来的？

我得到的x,y,z比较复杂：
x = 2u² - 4uv + v²
y = -2u² + 2uv - v²
z = 2u² - v²
x²-y² = y²-z²
= -8u³v + 12u²v² - 4uv³

[TheMatrix]

哦，你得到的这个表达式比较简单：
x²-y² = y²-z²
=4u³v - 4uv³

这个表达式是比较简单。可以写成，设这个差为K，那么
K = 4u³v - 4uv³

或者写回x,y变量，再把4去掉：
K = x³y-xy³
=xy(x+y)(x-y)

K是一个整数，但是可以调整。求x,y的整数解，而且要3个。