量子是非常神奇的，强大而神秘。关于量子的很多现象都很难理解，如量子化，量子隧穿，量子纠缠，双缝干涉，薛定谔猫，全同性，量子擦除，等等。而量子叠加是大多数神奇量子现象背后的原因，如量子纠缠，干涉实验（包括量子擦除），薛定谔猫，甚至包括全同性。
量子纠缠是最难理解的量子物理现象，其数学表达就是简单的量子叠加。而量子纠缠是量子通讯和量子计算的第一基石。
量子位的组合和叠加，让量子计算自动并行，不额外消耗硬件资源。可以用很少量量子计算资源表达、存储、和处理天文数字的数据。
薛定谔猫是宏观量子叠加态。
全同性也要通过额外的叠加，以保证粒子的对称性。
既然量子叠加是量子神奇和强大背后的原因，那么什么是量子叠加呢？
我们先看一下，什么是叠加。
什么是叠加
叠加(superposition)，名称比较抽象，但只是一个东西叠在另一个东西上面的意思，其实就是简单相加，是规则最简单的操作。很难找到比叠加更平凡的概念。
如果是同样的东西，比如一个苹果叠加一个苹果，就是两个苹果。如果是不同的东西，就简单列出两种东西。比如一个苹果叠加一个香蕉，就是一个苹果加(和)一个香蕉。
叠加自动包括减。比如一个苹果加一个香蕉减一个菠萝，就是一个苹果加一个香蕉再加欠一个菠萝。
经典物理中常见的是矢量叠加。矢量的每个组分维度分别相加或减。如果A=(a0, a1), B=(b0, b1), 那么A = B + C = (a0+b0, a1+b1)。
当然普通标量加法也是叠加。
矢量中，同一维度的才能直接数值相加。凑巧的是，物理学英文词汇中，维度和量纲是同一个词(dimension)。两个物理量，至少要量纲相同，才能数值相加。
叠加和数学上的加法一样，满足交换律：a+b=b+a；也满足结合律：a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)。
从叠加后的结果出发，无法追溯来源。你只有一个量，但不知道它是不是经过多次叠加后得到的。可以有各种可能。
叠加性也是经典波动的基本性质。不同波的波动分量，如位移，电磁场强度，及在不同方向的分量，在该位置点直接叠加，产生波的干涉。如果有两列波经过一个点，A波在该点的振幅是a，B波在该点的振幅是b，那么该点总的振幅就是a+b，即使a和b不是标量也一样。如果波动和介质都是理想的，那么这种叠加就是理想线性的，也就是总振幅一定是精确的a+b。
但对于经典波动，比如声波，水波，介质中传播的光波，等，由于介质不是理想线性的，包含相互作用，经常存在耗散，色散，倍频等非线性效应，那么叠加后的真实振幅就会偏离理想叠加值。所以，经典波一般不是理想线性的。
量子、波函数与概率幅
这里要先澄清量子的概念。前面已经有专门的章节讨论了量子定义的困境。但是我们仍然要简单说明一下量子是什么。德布罗意的物质波假定了所有的物质都是波，都有波的是属性，后来被称为波粒二象性。也就是所有的量子既是波，又是粒子。但数学表述上，所有的量子都是一个几率波。对一个量子的唯一和完全的描述是它的波函数。波函数是所有本征值的概率幅集合，可以算出测量得到任何一个本征值的概率。
所以，在量子力学的数学表达中，量子就是它波函数，是它所有本征值的概率幅。或者说，量子就是其所有本征值概率幅的叠加。所有的量子，本身就是叠加态。
这里有一个问题，什么是概率幅？作为数学分支的概率论中，传统上并没有概率幅的概念。概率幅是在量子力学中出现的概念，其它与概率相关的学科中，也没有概率幅的概念。
概率是很好理解的，它表示了某个事件发生的可能性。0表示不可能，1表示一定发生。0和1中间表示可能性大小。但是概率幅是什么？而且它还是一个复数。如果只是需要开方，我们也不需要概率幅为复数，因为概率是一个正的小数，开方得到的根也是实数。概率幅曾经让早期量子力学物理学家们感到困惑，并且也许体验到了顿悟天机的喜悦感。这也应该是波恩得到诺贝尔物理学奖的原因。
但是概率幅仍然是一个难以理解的概念。
概率幅虽然难以理解，但至少是一个很有用的工具。最重要的一点是，概率幅可以叠加，而概率不能。
举一个掷硬币的例子。如果每次投硬币只有两个结果，正面与反面，概率各为50%，那么投两次并不是每次的概率叠加，也就是必然出现一次正面或反面。我们可以用概率幅表示，将一次投掷的结果表示为：
|ψ> = 
那么两次投掷的结果就是：
|ψ1>|ψ2> = 
H表示正面，T表示反面。
每个状态的概率就是其概率幅1/2的平方，即1/4。出现两次正面或反面的概率都是1/4，出现一次正面的概率是3/4，而不是概率叠加，即1。
但是如果用概率表示，那么只能按照概率论，统计状态数，进行分析，不能按照上面的式子简单计算。
物理波幅是有量纲的，如位移（长度），场强(电场强度或磁场强度)，等。但量子波函数的概率幅没有量纲，就是一个数，不是一个物理量。概率也是一个数，没有量纲。
在全局近似诠释中，我们认为薛定谔方程是一个抽象波方程，将波动体系的物理细节抽象掉了，因此量子的波函数是一个抽象波，波幅是被抽象了的物理振幅。它是复数，是因为电磁波在前进方向有两个分量，复数的模恰好反映了电磁波的振幅。模电平方得到波的能量密度，而能量密度与触发各种本地事件的可能性成正比，表现与哥本哈根诠释中的粒子出现概率一致。
量子波函数表达为概率幅，是量子可以在希尔伯特空间使用线性代数表示，和进行各种变换的数学基础。
什么是量子叠加
我们知道了什么是量子，什么是叠加，以及它们各自的性质之后，再来看看什么是量子叠加。
量子叠加就是叠加，仍然是简单相加。对同一个量子，同样本征值的概率幅可以直接相加，不同本征值的概率幅直接列在波函数里。跟我们处理苹果香蕉的例子是一样的。如果是同一个量子，后面可能有归一的问题，即所有概率幅模方和必须为1。
量子叠加同样满足交换律和结合律，同样可以任意线性分解，同样叠加之后无法追溯历史。
我们提到无法追溯历史，是因为在讨论量子计算的天然并行计算的时候，叠加后只有一个量，不能追溯叠加前的数据。也就是，虽然我们进行了并行计算，却无法逐个取出计算的结果。
传统数字计算也无法追踪一个数据的历史，但是传统计算可以追溯整个计算程序，进行检查和排错。现代的数据库管理，包括文件系统，甚至每个文件，逐渐采用保留每次修改记录的日记模式，这样就可以追溯以前所有的版本，和操作记录。量子计算如果需要调试排错，需要考虑这个问题。
叠加性是波的基本性质。量子也是波，即物质波，当然具备波的叠加性。
跟前面讨论过的经典波一般不理想不同，量子波的叠加一般认为是完美理想的，也就是完美线性的。我们从来不讨论量子波的色散，耗散，相速度，群速度，等这样一些在经典波理论中耳熟能详的概念。
一般认为，量子的完美线性来自于薛定谔方程的线性属性。所有的量子都满足薛定谔方程。薛定谔方程是线性的，其解（本征态）的任意线性组合（即叠加）仍然满足薛定谔方程，所以量子态可以叠加。在数学表达上，叠加性是严格的，理想的。我们在讨论量子叠加性的时候，总是当它是理想的。
量子叠加的基本性，也自然导致任何量子都可以以不同的方式分解。所有的量子，本身就是叠加态，我们可以从不同的角度去描述同一个量子态，即进行各种线性变换，包括表象变换。比如，一个能量单一的态（能量本征态），如果变换为坐标本征值空间，在空间上看，是很多不同位置权重点的叠加。
叠加性是量子的基本属性。但在物理上如何理解量子叠加却存在严重的分歧。这一分歧至今没有解决，甚至大家都不关心，然而在如何理解诸多重要概念，比如量子纠缠，薛定谔猫，等等现象时，不同理解的物理图像差别很大，水火不容。
量子叠加的理解
即使在专业人员中，大多数人也没有意识到这个问题，或者认为量子叠加不需要解释，天经地义。的确，量子叠加从数学上看，无论是简单的加法表示，矢量表示，还是求和与积分表示，形式简单而且严格，似乎不应该存在理解的问题。
但是，当我们在争论双缝干涉，粒子究竟怎么通过缝的；以及薛定谔猫，猫是既死又活，还是或死或活；量子叠加的物理意义就是分歧的关键。
薛定谔早在1953年就问出了这个问题：量子叠加性究竟是或-或(either-or)，还是既-又(both-and)？
根据量子的数学定义和概率解释，量子每个本征态系数模方是其概率。对于经典概率，多结果事件中不同结果的概率本来是或-或的意思。比如扔硬币，结果只能是正面或反面，而不能既是正面又是反面。
但玻尔对叠加量子态的解释是既-又。薛定谔猫叠加态就是既是死的，又是活的。打开盒子才坍缩到某一具体状态。双缝干涉实验也一样，粒子是同时从两条缝过去的。这些解释显然无法在经典图像中理解。薛定谔坚信，猫只能是死的，或者活的，不存在既死又活的猫。
但是，这里有一个难以察觉的细节问题，那就是，概率并不是概率幅。经典概率意味着或-或，不等于概率幅也必须是或-或。量子波函数是概率幅的集合或叠加，而不是概率。
所以，薛定谔对对量子叠加概率的或-或与既-又之问，又回到了什么是概率幅的问题。