圆锥曲线与齐次方程

[TheMatrix]

三维图我只会画线图，但是线太多就乱了，看不出前后了。动图也看不清。

平面三维图如果能做到像Windows 3D Viewer那样，任意旋转，还要配合上texture和光线效果，那可能可以部分替代真三维模型。

[TheMatrix]

这个是 y²=x³+x+1的（齐次方程）的直纹面图。

直纹面的起始点都是原点，就是图中所有绿色直线交汇的点。图中黑色的cube是(x,y,z)从(0,0,0)到(3,5,1)的cube。最大的这个正面，往上是z方向，往左是y方向，往里是x方向。

蓝色的曲线就是通常的二维图曲线。这里只画了y>0的部分，也就是曲线的上半部分。在三维图中，它应该是在z=1平面上的，也就是黑色cube的上平面，标志了蓝色的那个平面。

蓝色曲线应该往y=infinity方向延申，但是我们用y=5这个平面截取它，也就是标志了红色的那个面。可以看出直纹面在往y=infinity处延申时，其截面曲线又回到了z=0。

线图还是看不清楚。至少要光影图。最好是3d打印实物模型。另外，实物模型的截面也很难想象，最好是实物切割，然后直接看截面。

[TheMatrix]

这个是 y²=x³+x+1的（齐次方程）的直纹面图。

上面这张是把z方向放大5倍的。可能没有必要。下面这一张图z没有放大。观察点选在z=1平面的上方，坐标大概在(x=5,y=-1,z=5)附近。图上的坐标没有什么意义，是视平面的二维坐标。

[TheMatrix]

上面这张是把z方向放大5倍的。可能没有必要。下面这一张图z没有放大。观察点选在z=1平面的上方，坐标大概在(x=5,y=-1,z=5)附近。图上的坐标没有什么意义，是视平面的二维坐标。

这张好像更清楚一些。观察距离拉远一些，视平面上放大：

[TheMatrix]

这个图左边是标准的 y² = x³+x+1。

右边是该曲线对应的齐次方程的直纹面，以x-轴为旋转轴旋转10°（上半部分朝向我们），再被z=1平面截取的曲线。

也就是说这两个曲线的直纹面应该是一样的。I had a hard time to imagine it.

[FoxMe]

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[TheMatrix]

学会了用Python存GIF图：

[FoxMe]

实物。中间的直纹面用直线拉起来的，是些什么面？

[TheMatrix]

实物。中间的直纹面用直线拉起来的，是些什么面？

对。就是这样的东西。没有实物真的很难形象化，这还是直纹面，要是一般曲面就更难了。而还是能嵌入三维中的曲面，不能嵌入了就更难了。

[FGH]

对。就是这样的东西。没有实物真的很难形象化，这还是直纹面，要是一般曲面就更难了。而还是能嵌入三维中的曲面，不能嵌入了就更难了。

直线拉的都是双曲面。比如：z=xy.

[TheMatrix]

直线拉的都是双曲面。比如：z=xy.

这是二次的，还有三次的。比如
y²z=x³+xz²+z³