圆锥曲线与齐次方程

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版主: verdeliteTlexander

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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TheMatrix 写了: 2月 23, 2023, 1:51 pm 三维图我只会画线图,但是线太多就乱了,看不出前后了。动图也看不清。
平面三维图如果能做到像Windows 3D Viewer那样,任意旋转,还要配合上texture和光线效果,那可能可以部分替代真三维模型。

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

帖子 TheMatrix楼主 »

这个是 y2=x3+x+1的(齐次方程)的直纹面图。

直纹面的起始点都是原点,就是图中所有绿色直线交汇的点。图中黑色的cube是(x,y,z)从(0,0,0)到(3,5,1)的cube。最大的这个正面,往上是z方向,往左是y方向,往里是x方向。

蓝色的曲线就是通常的二维图曲线。这里只画了y>0的部分,也就是曲线的上半部分。在三维图中,它应该是在z=1平面上的,也就是黑色cube的上平面,标志了蓝色的那个平面。

蓝色曲线应该往y=infinity方向延申,但是我们用y=5这个平面截取它,也就是标志了红色的那个面。可以看出直纹面在往y=infinity处延申时,其截面曲线又回到了z=0。

线图还是看不清楚。至少要光影图。最好是3d打印实物模型。另外,实物模型的截面也很难想象,最好是实物切割,然后直接看截面。

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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TheMatrix 写了: 2月 25, 2023, 10:57 am 这个是 y2=x3+x+1的(齐次方程)的直纹面图。
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上面这张是把z方向放大5倍的。可能没有必要。下面这一张图z没有放大。观察点选在z=1平面的上方,坐标大概在(x=5,y=-1,z=5)附近。图上的坐标没有什么意义,是视平面的二维坐标。

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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TheMatrix 写了: 2月 25, 2023, 5:45 pm 上面这张是把z方向放大5倍的。可能没有必要。下面这一张图z没有放大。观察点选在z=1平面的上方,坐标大概在(x=5,y=-1,z=5)附近。图上的坐标没有什么意义,是视平面的二维坐标。

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这张好像更清楚一些。观察距离拉远一些,视平面上放大:

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

帖子 TheMatrix楼主 »

这个图左边是标准的 y2 = x3+x+1。

右边是该曲线对应的齐次方程的直纹面,以x-轴为旋转轴旋转10°(上半部分朝向我们),再被z=1平面截取的曲线。

也就是说这两个曲线的直纹面应该是一样的。I had a hard time to imagine it.

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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学会了用Python存GIF图:

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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实物。中间的直纹面用直线拉起来的,是些什么面?

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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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FoxMe 写了: 3月 10, 2023, 3:55 pm 实物。中间的直纹面用直线拉起来的,是些什么面?

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对。就是这样的东西。没有实物真的很难形象化,这还是直纹面,要是一般曲面就更难了。而还是能嵌入三维中的曲面,不能嵌入了就更难了。
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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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TheMatrix 写了: 3月 10, 2023, 4:11 pm 对。就是这样的东西。没有实物真的很难形象化,这还是直纹面,要是一般曲面就更难了。而还是能嵌入三维中的曲面,不能嵌入了就更难了。
直线拉的都是双曲面。比如:z=xy.
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Re: 圆锥曲线与齐次方程

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FGH 写了: 3月 10, 2023, 4:19 pm 直线拉的都是双曲面。比如:z=xy.
这是二次的,还有三次的。比如
y2z=x3+xz2+z3
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