有限群表示理论的核心定理

[TheMatrix]

有。比如Dihedral group D8的四阶循环子群（而中心只有两个元素）。

嗯。对。有限群我掌握的实例太少。

[TheMatrix]

直接从不可约表示证明：对第一个同构取中心，左边C[G]的中心就是class function，其维数等于共轭类的个数；右边的每一个中心必然是单位阵的（标量）倍数（需要用到舒尔引理），所以右边的维数等于m。所以m等于共轭类的个数。

这个证明没有用到character，其实也很简单。

个人感受：代数里面的证明大部分很简单，理解了概念就能推出来，只需要简单几步。比如舒尔引理，只需要kernal/image的概念，就能一眼看出来。困难是概念太多，初学者不易掌握，学完后时间长了又忘了。

C[G]是作为group algebra取中心吧？

对。这个notation也对 - C algebra generated by the group G.

这个isomorphism是algebra isomorphism。这里也隐含了很多东西啊。group algebra的乘法，实际上是群函数的卷积。另一边的乘法，是矩阵乘法。

[TheMatrix]

这是多次Polish的结果，我看到的物理群论书上的证明要复杂很多。搞这种证明感觉需要很强的直觉，某种意识上已经搞清楚了，最后写出来很短

是。这个用了好几个定理和Corollary，也不简单。

[FoxMe]

也是。但是我对只用character那个证明抓不住感觉，比如f_{phi,rho}这个函数，自己怎么想的出来？

对比两个证明方法，character方法把第二个方法中的C.I_{V_i}改成了trace，但是不明白其联系。

[TheMatrix]

也是。但是我对只用character那个证明抓不住感觉，比如f_{phi,rho}这个函数，自己怎么想的出来？

对比两个证明方法，character方法把第二个方法中的C.I_{V_i}改成了trace，但是不明白其联系。

嗯，群表示论里的结构很丰富，路径很多。

[rgg]

也是。但是我对只用character那个证明抓不住感觉，比如f_{phi,rho}这个函数，自己怎么想的出来？

对比两个证明方法，character方法把第二个方法中的C.I_{V_i}改成了trace，但是不明白其联系。

那个函数是傅立叶变换吧.

[FoxMe]

那个函数是傅立叶变换吧.

对对，昨天我怎么没看出来，多谢。从傅立叶变换的角度看，两种证明方法本质上是相同的：

在用不可约表示的方法中，C[G]的中心Z(C[G])是可换的，其傅立叶变换对应于标量乘以单位阵C.I_{V_i}；

在用character的方法中，class function就是Z(C[G])，其傅立叶变换等于标量乘以单位阵，并且这个标量可用character求出来，C = trace / 维数。

所以群表示论本质上就是傅立叶变换，再加上共轭的巧妙应用。

[TheMatrix]

对对，昨天我怎么没看出来，多谢。从傅立叶变换的角度看，两种证明方法本质上是相同的：

在用不可约表示的方法中，C[G]的中心Z(C[G])是可换的，其傅立叶变换对应于标量乘以单位阵C.I_{V_i}；

在用character的方法中，class function就是Z(C[G])，其傅立叶变换等于标量乘以单位阵，并且这个标量可用character求出来，C = trace / 维数。

所以群表示论本质上就是傅立叶变换，再加上共轭的巧妙应用。

关于群表示论的傅立叶变换，我有点疑问。看下面的傅立叶变换定义。变换之后的函数是定义在每一个群表示上的。全部的群表示的空间是个什么空间呢？集合？还有其他结构吗？

[FoxMe]

理解了表示与character的关系：

Corollary 2.4 Two representations are equivalent if and only if they have the same character.

就是说，如果character相同，两个表示最多差个共轭变换。比如D8与Q8的例子。

这个证明也看懂了：

Theorem 2.6 The irreducible characters form an orthonormal basis for the vector space of class functions.

不可能存在一个与所有character正交的非平凡class function，因为它的傅立叶变换为0.

[FoxMe]

关于群表示论的傅立叶变换，我有点疑问。看下面的傅立叶变换定义。变换之后的函数是定义在每一个群表示上的。全部的群表示的空间是个什么空间呢？集合？还有其他结构吗？

全部群表示的空间就是右边这个直和。

[rgg]

关于群表示论的傅立叶变换，我有点疑问。看下面的傅立叶变换定义。变换之后的函数是定义在每一个群表示上的。全部的群表示的空间是个什么空间呢？集合？还有其他结构吗？

所有的表示都是正则表示的子空间。

[TheMatrix]

全部群表示的空间就是右边这个直和。

嗯。我好像有点明白了。你和rgg说的是一样的。

正则表示就是这个C[G]，这是群函数的线性空间 {G --> C}，它也是group algebra，但是作为表示的空间我们先把它看成线性空间。而正则表示就是群乘法，作用在C[G]空间上正是group algebra的乘法。对，这个跟傅里叶变换的delta变换是一样的。

也就是说正则表示，虽然不是最大的表示空间，但是它包含了全部的不可约表示，而且是不全部不可约表示的直和。所以就在这个空间里看它的子空间。

嗯。这个差不多了。还稍微一点点的就是：它们放在一起，应该说还只是一个集合，还不能说就是正则表示的那个大的空间。要是能弄成一个像graded algebra那样的东西就更好了。

[TheMatrix]

所有的表示都是正则表示的子空间。

谢谢。你和FoxMe说的应该是一样的。

[FoxMe]

再问一个问题：class function和character与群的阿贝尔化有没有关系？class function中把共轭类视为一个元素，而群的阿贝尔化则强制xy = yx.

但是看了一下，又不一样。群G的阿贝尔化G^ab = G / [G,G],这里[G,G]是commutator 子群。我原以为｜G^ab｜就是共轭类的个数，但其实是小于/等于。

[FoxMe]

舒尔引理，其实是证明了群的中心的元素的不可约表示只能是标量（乘以单位阵），即一维的。所以可换群的不可约表示都是一维的，因为这里群的每个元素都是中心里的。

舒尔引理的证明非常简单，但是结论却颇为费解。因为根据引理1，引理2中的矩阵可以为可逆矩阵；但是引理2说它只能是（标量乘以）单位阵。该怎么理解才好？

[TheMatrix]

全部群表示的空间就是右边这个直和。

这个地方我的理解还是不对。可能还差一点点。

C[G]是群函数空间，它是N维的，N=|G|。正则表示是在C[G]上，所以是N维的，这没错。但是作为矩阵，它是在End(C[G])上的，这个空间是N²的。也就是C[G]作为代数考虑的话，它不等于End(C[G])。这个isomorphism里面应该还是有不少东西的。

[TheMatrix]

舒尔引理，其实是证明了群的中心的元素的不可约表示只能是标量（乘以单位阵），即一维的。所以可换群的不可约表示都是一维的，因为这里群的每个元素都是中心里的。

舒尔引理的证明非常简单，但是结论却颇为费解。因为根据引理1，引理2中的矩阵可以为可逆矩阵；但是引理2说它只能是（标量乘以）单位阵。该怎么理解才好？

well，引理1是对于不同的不可约表示，而引理2是对相同的不可约表示。

[FoxMe]

这个地方我的理解还是不对。可能还差一点点。

C[G]是群函数空间，它是N维的，N=|G|。正则表示是在C[G]上，所以是N维的，这没错。但是作为矩阵，它是在End(C[G])上的，这个空间是N²的。也就是C[G]作为代数考虑的话，它不等于End(C[G])。这个isomorphism里面应该还是有不少东西的。

我觉得End(C[G])没什么新意，它的结构比较简单，是由群的正则表示线性扩展过来的。所以上述同构也是algebra isomorphism.

[FoxMe]

well，引理1是对于不同的不可约表示，而引理2是对相同的不可约表示。

引理1没有要求不同的不可约表示，可以相同。

[TheMatrix]

从这两个图看来，傅里叶变换

f(g) --> f^{^}(ρ)

中f^{^}的定义域，就是全部不可约表示的集合。这个集合只是一个集合，没有其他结构。

而f^{^}的值域，应该说每个ρ的值域不在一个空间中，强行放到一起就是第一个图中的直和，End(V_i)的直和。直和的意思就是它们之间没有关系。