掷骰子的几率计算题

[YWY]

那你前面说过，你的模拟结果是7：6， 不知道什么意思？

玩1300000把游戏，大概700000把以12结束，大概600000把以双连7结束，7:6的比例。这里的“把”，是一直投直到投出结果为一把。当然，每一把里，还可以谈一共投了几次。

[CalCat]

玩1300000把游戏，大概700000把以12结束，大概600000把以双连7结束，7:6的比例。这里的“把”，是一直投直到投出结果为一把。当然，每一把里，还可以谈一共投了几次。

你不就是我纠结的地方吗？如果几率的比例是7:6，那么平均投掷次数的比例应该是6：7才合理。难道我错的离谱了？

[（ヅ）]

你不就是我纠结的地方吗？如果几率的比例是7:6，那么平均投掷次数的比例应该是6：7才合理。难道我错的离谱了？

投掷次数是计算absorbing markov chain的time until absorption

参考https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_phase-type_distribution

[CalCat]

投掷次数是计算absorbing markov chain的time until absorption

参考https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_phase-type_distribution

Thank you! I'll read it then go sleep. we finally have a conclusion. I'm glad.

[meiyoumajia]

我上面的1435/36 = 39.861，是在投掷骰子时就排除和等于12的情形。而（据我的理解）你想要的是，玩N次（N非常大），每次直到出现12或双连7为止，这样你有N个数据点，每个数据点都有次数；然后分别加“不出现12”和“不出现双连7”的限定，找出两组子数据，求这两组子数据的平均长度。

先看总数据，设定就是一直投一直投，直到投出连续两次7或者一次12为止，谁先出现都算，出现了就不再投了，求投掷次数的平均值（期望值）。在此设定下，我得到E = 1512/78 = 19.384615384615，这是不加限定的平均次数。大家把把关，viewtopic.php?p=720205#p720205

如果上面的平均值对的话，那么分别加“不出现12”和“不出现双连7”的限定后的两组子数据，平均次数应该在19.384615附近，因为你要的两个平均值，用7/13和6/13加权平均的话，就应该得到19.384615。

大家一起讨论，我也在学习中。

楼主首先还是应该把他想要考虑的真实情况想清楚，否则我（像先前一样）得猜他想问的是什么。
也就是说必须尽量严谨些。

关于“之前不出现12”和“不让”的用法其实是会让人难理解的。但我最终还是搞清楚了想描述的是什么。

如我之前所说，概率描述的是很大数量的试验情况。
比如投13百万轮（从第一投到以7 7 或12 结束为1轮。1轮例：第一次7，然后 3， 最后12。），在时间顺序上“交替”/混杂出现以相互排斥的12 或 7 7结束的次数，依次差不多有7百万轮或六百万轮左右。
在这种整体实际情况下，谈论一个结束序列最好用“以x结束”，而对此序列不要用“之前y不出现”，以避免歧义。我之前就与YWY聊了几次，好像不是一会儿。后来我明白了意思，把那些讨论尽量删了。（也就是说，之前我只“认准”这种描述：x结束系列里不出现y。）

还有就是要检查pk的总和是否是1， 6/13， 或7/13。最后答案应该用weighted sum/（pk的总和）。

对以7 7 结束而不是以12结束的情况，我得出的是19+11/13。也就是19.84615384615

[CalCat]

对以7 7 结束而不是以12结束的情况，我得出的是19+11/13。也就是19.84615384615

如果过程不长, 就贴个演算的详细过程。非常感谢你的帮助, 使得我的许多迷惑能够得到放置下来。

[meiyoumajia]

如果过程不长, 就贴个演算的详细过程。非常感谢你的帮助, 使得我的许多迷惑能够得到放置下来。

就像前面我对42那个结果列过的过程那样做。
但那个其实可以简化。按下面的方式，但我就不列了。

只列你要的这个：
利用p1 = 0
p2 = 1/36
p(k) = 6/36* 29/36* p(k-2) + 29/36*p(k-1), for k > 2
sum_all_Ks p(k) = 6/13

e- p1 - 2 p2
= 3*1/6*29/36 * p1 +
29/36 *1/6* (7*2 * + 8 )* p2 +
29/36 *1/6* (7*3 * + 8 )* p3 +
...+
29/36 *1/6* (7*(k-1) * + 8 )* p(k-1)
+ ...
=
29/36 * 1/6 * 3* p1 +
29/36 * 1/6*(7*(e - p1) + 8 * (6/13-p1))
=29/36 * 1/6*(7*e + 8 * 6/13)

13/6/36*e = 2 p2+ 29/36 * 1/6 * 8 * 6/13

13/6*e = 2 + 29* 1/6 * 8 *6/13
=19+11/13

[meiyoumajia]

类似地可以算以12结束的情况

p1 = 1/36
p2 = 1/36 * 35/36
pk的总和是 7/13

13/7 * e = 18+ 90/91


而对相互排斥的或以第一个 7 7 或以 第一个 12结束，
e = 19+ 5/13
也就是YWY的结果
也是前面两个结果的权重值（这也验证了在推算过程中没有出错）。

[meiyoumajia]

前两天算出了
只以7 7结束情况的平均次数是42。（相当于：前面那些以12结束的子系列中每个都要在那基础上“继续”到出现第一个7 7。）

现在算另外一种情况：不管7怎样，只以第一个12结束。

p1= 1/36
pk= p1* (35/36)^(k-1)

e= p1 + 2 p2 + ... + k p(k) + ...
=1/p1
= 36次

（做e和（35/36）e的比较可得）

[meiyoumajia]

还有1个是每轮只投两次（第一次投两个dice，然后第二次也是最后一次投两个dice）。
以7 7结束平均需要做36轮。


这样下来，能够比较的几个可操作或者实际可出现的情况就都有了结果，可以做点比较。

[meiyoumajia]

前两天算出了
只以7 7结束情况的平均次数是42。（相当于：前面那些以12结束的子系列中每个都要在那基础上“继续”到出现第一个7 7。）

现在算另外一种情况：不管7怎样，只以第一个12结束。

p1= 1/36
pk= p1* (35/36)^(k-1)

e= p1 + 2 p2 + ... + k p(k) + ...
= 1/p1
= 36次

（做e和（35/36）e的比较可得）

对前面的情况
求出p(k)的具体解析式后也可以算出那些答案，但是比YWY的用E的递推公式要麻烦。
方法应该与刚刚对以（不管7）第一次12出现时断投的演算相同，只不过要得到每个答案都应该有两个那样的求和项。

[（ヅ）]

前两天算出了
只以7 7结束情况的平均次数是42。（相当于：前面那些以12结束的子系列中每个都要在那基础上“继续”到出现第一个7 7。）

现在算另外一种情况：不管7怎样，只以第一个12结束。

p1= 1/36
pk= p1* (35/36)^(k-1)

e= p1 + 2 p2 + ... + k p(k) + ...
= 37次

（做e和（35/36）e的比较可得）

我昨天模拟结果是42和36。一会儿再试试

[meiyoumajia]

我昨天模拟结果是42和36。一会儿再试试

你是对的。
确实是36。

p1=1/36
r = 1- p1 = 35/36
e-r*e = p1*(1+r+r^2+...) = p1*1/(1-r)
e = p1/(1-r)^2 = 1/p1 = 36
很有趣

[meiyoumajia]

你是对的。
确实是36。

p1=1/36
r = 1- p1 = 35/36
e-r*e = p1*(1+r+r^2+...) = p1*1/(1-r)
e = p1/(1-r)^2 = 1/p1 = 36
很有趣

e = 1/p对其它的任何
0 0 0 。。。1 （终结/结束的子事件与任何序列中任何其它子事件完全抵触而且完全互补）性质的问题
都成立

比如，以（不管任何其它dice_sum值,也就是从2到12之间除了7以外的10个数中的任何1个）第一个7结束
e = 1/（6/36） = 6

对三个dice一起投。。。也是
换成其它面体的dice，也是
换成扑克牌的某种情况，也是

[YWY]

你问了几个问题，但却没问“一直投掷两个骰子直到出现和为12”（不管之前7出现与否）的情况。这个情形下，p(n) = (1/36)(35/36)^{n-1} for all n > 0，投掷次数的期望值为E = 1p(1) + 2p(2) + ... = 36。不知这是不是你心念已久的结果。

e = 1/p对其它的任何
0 0 0 。。。1 （终结/结束的子事件与任何序列中任何其它子事件完全抵触而且完全互补）性质的问题
都成立

比如，以（不管任何其它dice_sum值,也就是从2到12之间除了7以外的10个数中的任何1个）第一个7结束
e = 1/（6/36） = 6

对三个dice一起投。。。也是
换成其它面体的dice，也是
换成扑克牌的某种情况，也是

这是geometric distribution p(i) = p (1-p)^{i-1}，期望值是 E = 1/p。

[meiyoumajia]

前两天算出了
只以7 7结束情况的平均次数是42。（相当于：前面那些以12结束的子系列中每个都要在那基础上“继续”到出现第一个7 7。）

依此可以验证上述3个相关答案是自洽的。

L =
6/13 * (19+11/13)
+
7/13 * ((18+90/91) + L)

L = (19+11/13) + (7/13)/(6/13) * (18+90/91)
= 42

[（ヅ）]

这个题目应该是可以阐述成一个典型的DTMC，然后用标准解法就可以了

(俺学的不好)

[CalCat]

就像前面我对42那个结果列过的过程那样做。
但那个其实可以简化。按下面的方式，但我就不列了。

只列你要的这个：
利用p1 = 0
p2 = 1/36
p(k) = 6/36* 29/36* p(k-2) + 29/36*p(k-1), for k > 2
sum_all_Ks p(k) = 6/13

e- p1 - 2 p2
= 3*1/6*29/36 * p1 +
29/36 *1/6* (7*2 * + 8 )* p2 +
29/36 *1/6* (7*3 * + 8 )* p3 +
...+
29/36 *1/6* (7*(k-1) * + 8 )* p(k-1)
+ ...
=
29/36 * 1/6 * 3* p1 +
29/36 * 1/6*(7*(e - p1) + 8 * (6/13-p1))
=29/36 * 1/6*(7*e + 8 * 6/13)

13/6/36*e = 2 p2+ 29/36 * 1/6 * 8 * 6/13

13/6*e = 2 + 29* 1/6 * 8 *6/13
=19+11/13

Excellent! Thank you.

[CalCat]

这个题目应该是可以阐述成一个典型的DTMC，然后用标准解法就可以了

(俺学的不好)

想从你那里再学习点编程技能, 好在我以后可以自己搞
模拟。 我的编程技能只有国内学过的Fortran, 现在想开始学点新的。你用的是什么方法? 让我先了解一下。

[（ヅ）]

想从你那里再学习点编程技能, 好在我以后可以自己搞
模拟。 我的编程技能只有国内学过的Fortran, 现在想开始学点新的。你用的是什么方法? 让我先了解一下。

用你的google登录colab，把code copy paste进去跑一遍，看懂在干啥，然后改呗

这样可以迅速上手