关于椭圆曲线，听说这本书不错

[TheMatrix]

isogeny是定义在群上的，比如abelian variety. 为啥dual一定存在？咋看不可思议，其实很简单：

两个整数a, b, 如果a是b的c倍 a=bc, 那么bc²也是a的c倍 bc²=ac。这里c²叫degree.

endomorphism还有一种情况是quaternion，只能在有限域上才有。

我有几个问题，好像都差不多，这个地方有点糊涂：
1，两个曲线E1和E2，如果isogenous的话。torsion point一定映射到torsion point上。对吧？那么对应点order是相同的吗？两个曲线rank也相同吗？
2，假如两个曲线，rank不相同，它们之间能有isogeny吗？
3，两个曲线，有isogeny的话，一定有isomorphism吗？

[FoxMe]

1，两个曲线E1和E2，如果isogenous的话。torsion point一定映射到torsion point上。对吧？那么对应点order是相同的吗？两个曲线rank也相同吗？

isogeny是群同态，如果a是整数，那么phi(ax)=a phi(x)，order不一定相等，只能推出一个是另一个的因子。isogeny是（有限）多对一，对Z-模rank没有影响，所以rank也相同。

2，假如两个曲线，rank不相同，它们之间能有isogeny吗？

应该不能。

3，两个曲线，有isogeny的话，一定有isomorphism吗？

两条曲线之间的isogeny构成一个加法群，不见得有isomorphism.

[TheMatrix]

1，两个曲线E1和E2，如果isogenous的话。torsion point一定映射到torsion point上。对吧？那么对应点order是相同的吗？两个曲线rank也相同吗？

isogeny是群同态，如果a是整数，那么phi(ax)=a phi(x)，所以它们的order相同。isogeny是（有限）多对一，对Z-模rank没有影响，所以rank也相同。

2，假如两个曲线，rank不相同，它们之间能有isogeny吗？

应该不能。

3，两个曲线，有isogeny的话，一定有isomorphism吗？

两条曲线之间的isogeny构成一个加法群，不见得有isomorphism.

我现在有一个推理把我绕糊涂了。我说一下你看看：

假如只考虑同一个椭圆曲线E/Q。根据Mordell定理，它是finitely generated。所以torsion points，也是torsion subgroup，为有限。

现在考虑乘以2这个isogeny，这是自映射，表示为[2]。也就是[2](x)=2x=x+x。

在这个映射下，torsion points一定映射到torsion points。非torsion points一定映射到非torsion points。

也就是在[2]这个自映射下，torsion subgroup映射到自己，而且是一个满射，这是因为：
1，非torsion points不能映射到torsion points。
2，整个这个映射 [2]: E --> E 是满射 - 因为一个isogeny，如果不是全部映射到0点的话，那么一定是满射 - 这是一个定理。

也就是说，[2]这个自映射，从torsion subgroup来看，是满射，所以kernel为0，所以也是单射。

所以整个这个 [2]: E --> E，也是单射 - 因为kernel为0。前面说了，它又是一个满射。所以这是一个一一映射。

所以[2]是一个automorphism啊。这个推理有问题吗？

[TheMatrix]

我现在有一个推理把我绕糊涂了。我说一下你看看：

假如只考虑同一个椭圆曲线E/Q。根据Mordell定理，它是finitely generated。所以torsion points，也是torsion subgroup，为有限。

现在考虑乘以2这个isogeny，这是自映射，表示为[2]。也就是[2](x)=2x=x+x。

在这个映射下，torsion points一定映射到torsion points。非torsion points一定映射到非torsion points。

也就是在[2]这个自映射下，torsion subgroup映射到自己，而且是一个满射，这是因为：
1，非torsion points不能映射到torsion points。
2，整个这个映射 [2]: E --> E 是满射 - 因为一个isogeny，如果不是全部映射到0点的话，那么一定是满射 - 这是一个定理。

也就是说，[2]这个自映射，从torsion subgroup来看，是满射，所以kernel为0，所以也是单射。

所以整个这个 [2]: E --> E，也是单射 - 因为kernel为0。前面说了，它又是一个满射。所以这是一个一一映射。

所以[2]是一个automorphism啊。这个推理有问题吗？

这个肯定是不对的。因为考虑 y²=x(x-1)(x+1)这个椭圆曲线。曲线和x轴的三个交点，都是torsion order为2的点。在[2]下映射到0。再加上0自己，[2]这个映射的kernel为4个。

[TheMatrix]

这个肯定是不对的。因为考虑 y²=x(x-1)(x+1)这个椭圆曲线。曲线和x轴的三个交点，都是torsion order为2的点。在[2]下映射到0。再加上0自己，[2]这个映射的kernel为4个。

从这个例子来看，torsion subgroup在[2]这个映射下，已经有kernel为4，所以已经不是单射，所以也不可能是满射。那就只能是非torsion points可以映射到torsion points - 在[2]这个映射下。也就是x不是torsion point，但是2x是torsion point。这也不对啊。

[TheMatrix]

2，整个这个映射 [2]: E --> E 是满射 - 因为一个isogeny，如果不是全部映射到0点的话，那么一定是满射 - 这是一个定理。

这个定理是对的：

[TheMatrix]

这个定理是对的：

除非，这个曲线y²=x(x-1)(x+1)只有这4个有理点，也就是和x轴相交的三个点，再加上无穷远点也就是O点。这是这个曲线的torsion points，而这个曲线没有非torsion points，也就是rank为0。然后全部这些点在[2]映射下，全部映射到O点，也就是constant map。这好像也很令人惊讶啊。

如果是这样的话，那么这个例子并不否证[2]是automorphism的推理。

[FoxMe]

确实y2=x(x-1)(x+1)的rank为0。不奇怪，统计上讲，一半的椭圆曲线rank为0，一半为1，还有少数大于1。

前面我写错了，order不一定相等，只能推出一个是另一个的因子。已纠正。

[TheMatrix]

确实y2=x(x-1)(x+1)的rank为0。不奇怪，统计上讲，一半的椭圆曲线rank为0，一半为1，还有少数大于1。

前面我写错了，order不一定相等，只能推出一个是另一个的因子。已纠正。

嗯。rank大部分为0和1 - 我好像也看到过这个结论。

[TheMatrix]

我现在有一个推理把我绕糊涂了。我说一下你看看：

假如只考虑同一个椭圆曲线E/Q。根据Mordell定理，它是finitely generated。所以torsion points，也是torsion subgroup，为有限。

现在考虑乘以2这个isogeny，这是自映射，表示为[2]。也就是[2](x)=2x=x+x。

在这个映射下，torsion points一定映射到torsion points。非torsion points一定映射到非torsion points。

也就是在[2]这个自映射下，torsion subgroup映射到自己，而且是一个满射，这是因为：
1，非torsion points不能映射到torsion points。
2，整个这个映射 [2]: E --> E 是满射 - 因为一个isogeny，如果不是全部映射到0点的话，那么一定是满射 - 这是一个定理。

也就是说，[2]这个自映射，从torsion subgroup来看，是满射，所以kernel为0，所以也是单射。

所以整个这个 [2]: E --> E，也是单射 - 因为kernel为0。前面说了，它又是一个满射。所以这是一个一一映射。

所以[2]是一个automorphism啊。这个推理有问题吗？

这个推理感觉是对的。

倍乘自映射应该都是这样的。比如[2]，如果不是trivial map，也就是constant map，也就是全部映射到O，那么它就一定是满射。而是满射的话，torsion subgroup和非torsion subgroup分别都是满射。而torsion subgroup为有限，满射即单射。所以O到O，kernel为O。而非torsion元素不能映射到O。所以整个自映射为单射。既为满射又为单射，也就是一一映射。

所以倍乘映射只有两种情况：trivial映射和一一映射。这对于我还是很惊讶的。

比如
y²=x³-x+4
有一个整数解
P=(0,2)。

2P=[4,-127,64]，这是齐次坐标，也就是第三个数是公分母：2P=(4/64,-127/64)。

这说明对于这个椭圆曲线，[2]不是trivial map，因为2P != O。所以一定是一一映射。

[TheMatrix]

这个推理感觉是对的。

倍乘自映射应该都是这样的。比如[2]，如果不是trivial map，也就是constant map，也就是全部映射到O，那么它就一定是满射。而是满射的话，torsion subgroup和非torsion subgroup分别都是满射。而torsion subgroup为有限，满射即单射。所以O到O，kernel为O。而非torsion元素不能映射到O。所以整个自映射为单射。既为满射又为单射，也就是一一映射。

所以倍乘映射只有两种情况：trivial映射和一一映射。这对于我还是很惊讶的。

比如
y²=x³-x+4
有一个整数解
P=(0,2)。

2P=[4,-127,64]，这是齐次坐标，也就是第三个数是公分母：2P=(4/64,-127/64)。

这说明对于这个椭圆曲线，[2]不是trivial map，因为2P != O。所以一定是一一映射。

[2]是一一映射的话，

一方面看torsion subgroup的话，它没有偶数阶cyclic component，因为一个偶数阶cyclic group必然有2阶元素x。那么[2](x)=O，就不可能是一一映射。

另一方面看非torsion subgroup的话，任意元素Q都有唯一的Q/2 - 因为[2]为一一映射 - 这甚至包括生成元！比如Q是一个生成元，也就是Q生成这个椭圆曲线的一个Z copy - 它也有Q/2。而这个Q/2还是生成元。这有点过分了。

[TheMatrix]

[2]是一一映射的话，

一方面看torsion subgroup的话，它没有偶数阶cyclic component，因为一个偶数阶cyclic group必然有2阶元素x。那么[2](x)=O，就不可能是一一映射。

另一方面看非torsion subgroup的话，任意元素Q都有唯一的Q/2 - 因为[2]为一一映射 - 这甚至包括生成元！比如Q是一个生成元，也就是Q生成这个椭圆曲线的一个Z copy - 它也有Q/2。而这个Q/2还是生成元。这有点过分了。

好像不对。

因为比如考虑一个rank为1的椭圆曲线，它只有一个Z copy，假设有一个生成元x，也就是非torsion所有元素都等于mx for some integer m。那么x/2也等于某个mx，所以x=2mx，(2m-1)x=O，x变成了torsion元素。肯定是出错了。

[FoxMe]

我觉得1/2应该是个整数，就等于m, 所以2m-1=0. 0x=0,没矛盾。

[TheMatrix]

我觉得1/2应该是个整数，就等于m, 所以2m-1=0. 0x=0,没矛盾。

不用1/2的话，写出来是这样：
假设椭圆曲线rank为1，那么非torsion points有一个generator x。
又因为[2]为满射，所以有一个y，满足2y=x。
y肯定也是非torsion points，所以有y=mx for some integer m。
所以2mx=x，(2m-1)x=0。所以x是torsion points。
矛盾。

[TheMatrix]

不用1/2的话，写出来是这样：
假设椭圆曲线rank为1，那么非torsion points有一个generator x。
又因为[2]为满射，所以有一个y，满足2y=x。
y肯定也是非torsion points，所以有y=mx for some integer m。
所以2mx=x，(2m-1)x=0。所以x是torsion points。
矛盾。

关键在于这个定理：





然后这个定理不需要algebraically closed field：

[TheMatrix]

关键在于这个定理：





然后这个定理不需要algebraically closed field：

有了这个定理，再加上[m]，也就是倍乘map是isogeny的话，就能推出好多东西，而且好像不太对。还要再加上椭圆曲线over number field，这样可以用Mordell定理：

1，一个曲线的torsion subgroup为有限，假设总数为w。那么[w]这个倍乘操作把每一个torsion point都map到O。
2，假设一个曲线的rank大于0。那么任意倍乘操作都不是constant map，所以必为满射。
3，前两条加在一起推出：rank大于0的曲线不可能有torsion，反之，有torsion的曲线，rank一定等于0。
4，然后再考虑rank为1的曲线。任意倍乘都既是满射又是单射。再考虑它的generator。好像有矛盾。

是不是哪出问题了？

[TheMatrix]

不用1/2的话，写出来是这样：
假设椭圆曲线rank为1，那么非torsion points有一个generator x。
又因为[2]为满射，所以有一个y，满足2y=x。
y肯定也是非torsion points，所以有y=mx for some integer m。
所以2mx=x，(2m-1)x=0。所以x是torsion points。
矛盾。

这个推理的错误找出来了：2y=x中的y，是非torsion point不假，但是没有y=mx for some integer m，因为它们可能是不同方向的。

本质上还是structure of finitely generated abelian group。其中torsion points构成subgroup，而非torsion points不构成subgroup。可以选定非torsion points的component，但是它和torsion subgroup的关系是direct sum，不是集合的互补关系。也不存在canonical方法来选定非torsion的component。这在vector space的直和分解中很明显。

不过这个地方是经常容易犯糊涂的。

[TheMatrix]

这个推理感觉是对的。

倍乘自映射应该都是这样的。比如[2]，如果不是trivial map，也就是constant map，也就是全部映射到O，那么它就一定是满射。而是满射的话，torsion subgroup和非torsion subgroup分别都是满射。而torsion subgroup为有限，满射即单射。所以O到O，kernel为O。而非torsion元素不能映射到O。所以整个自映射为单射。既为满射又为单射，也就是一一映射。

所以倍乘映射只有两种情况：trivial映射和一一映射。这对于我还是很惊讶的。

比如
y²=x³-x+4
有一个整数解
P=(0,2)。

2P=[4,-127,64]，这是齐次坐标，也就是第三个数是公分母：2P=(4/64,-127/64)。

这说明对于这个椭圆曲线，[2]不是trivial map，因为2P != O。所以一定是一一映射。

这都是错的。倍乘映射不可能是trivial map，这是个定理。也不是一一映射。这也是定理。哦对了，E[m]就是[m]的kernel。

[TheMatrix]

我现在有一个推理把我绕糊涂了。我说一下你看看：

假如只考虑同一个椭圆曲线E/Q。根据Mordell定理，它是finitely generated。所以torsion points，也是torsion subgroup，为有限。

现在考虑乘以2这个isogeny，这是自映射，表示为[2]。也就是[2](x)=2x=x+x。

在这个映射下，torsion points一定映射到torsion points。非torsion points一定映射到非torsion points。

也就是在[2]这个自映射下，torsion subgroup映射到自己，而且是一个满射，这是因为：
1，非torsion points不能映射到torsion points。
2，整个这个映射 [2]: E --> E 是满射 - 因为一个isogeny，如果不是全部映射到0点的话，那么一定是满射 - 这是一个定理。

也就是说，[2]这个自映射，从torsion subgroup来看，是满射，所以kernel为0，所以也是单射。

所以整个这个 [2]: E --> E，也是单射 - 因为kernel为0。前面说了，它又是一个满射。所以这是一个一一映射。

所以[2]是一个automorphism啊。这个推理有问题吗？

非torsion points不构成subgroup。但是非torsion points在倍乘映射下一定映射到非torsion points，这好像还是对的。

因为如果mx=t，而t是一个torsion point，比如kt=0的话，那么mkx=kt=0，所以x必须是torsion point。

所以这个推理还有一个糊涂的点没找出来。但是它肯定是错的。

[changbaihou]

半夜醒来路过。高楼太高没法看完，翻了几条发现几位在纠结multiply by n的isogeny [n]: E->E是否surjective，觉得有必要提醒一下。phi: E1/K->E2/K是一个K-isogeny并不是说phi: E1(K)->E2(K)是满射，而是phi: E1(\bar{K})->E2(\bar{K})是满射。Isogenies都是些rational maps，在投影意义下，phi_x(x,y,z), phi_y(x,y,z), phi_z(x,y,z)都是些K-rational polynomials，当然在K的代数闭包内对任意给定值都能找到对应(不一定唯一)的x, y, z，所以是满射。