有限群表示理论的核心定理

[TheMatrix]

引理1没有要求不同的不可约表示，可以相同。

哦。引理1两个不可约表示可以相同，但是允许差一个基变换。引理2考虑的是在固定基下。

[FoxMe]

从这两个图看来，傅里叶变换

f(g) --> f^{^}(ρ)

中f^{^}的定义域，就是全部不可约表示的集合。这个集合只是一个集合，没有其他结构。

而f^{^}的值域，应该说每个ρ的值域不在一个空间中，强行放到一起就是第一个图中的直和，End(V_i)的直和。直和的意思就是它们之间没有关系。

同意。

[FoxMe]

再问一个问题：class function和character与群的阿贝尔化有没有关系？class function中把共轭类视为一个元素，而群的阿贝尔化则强制xy = yx.

但是看了一下，又不一样。群G的阿贝尔化G^ab = G / [G,G],这里[G,G]是commutator 子群。我原以为｜G^ab｜就是共轭类的个数，但其实是小于/等于。

确实和G^ab有关，｜G^ab｜等于一维表示的个数，一般小于共轭类的个数。

[TheMatrix]

确实和G^ab有关，｜G^ab｜等于一维表示的个数，一般小于共轭类的个数。

｜G^ab｜等于一维表示的个数？这个也很有用啊。D8的G^ab是什么？应该有4个。

[FoxMe]

是的。

[TheMatrix]

这么严谨。转帖个完整证明。lemma 2.5 and theorem 2.6 on page 4 and 5. https://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/fgreps.pdf

学习了。谢谢。

基本上follow了。虽然每一步不难，但是感觉千头万绪。夸张了，实际上四头五绪人就有点乱。需要浸淫。或者更高的抽象。

[FoxMe]

我也过了一遍，感觉这是个总结，作者在丛林中发现了一条捷径。真正学懂了，才能做到几页纸就能讲清楚。

[Caravel]

我也过了一遍，感觉这是个总结，作者在丛林中发现了一条捷径。真正学懂了，才能做到几页纸就能讲清楚。

我觉得还得搞几个具体的群熟练一下这些概念

[TheMatrix]

我也过了一遍，感觉这是个总结，作者在丛林中发现了一条捷径。真正学懂了，才能做到几页纸就能讲清楚。

是。很dense。但是又比较容易follow。得意之作啊。

关于Schur lemma，我理解你的感受。这个小lemma很不平凡。缺失的话会有不可逾越的鸿沟。我记得实分析中Holder或者Jensen定理，有这个感觉。还有泛函分析中Baire纲定理也有这个感觉。

[FoxMe]

想要理解却不容易。比如Maschke定理这个群表示论中最重要的定理，我是知其然而不知其所以然。



P的形式是怎么想到的？这个平均的技巧出现很多，用到了群的封闭性，使得P自共轭。

还有U就是U_0吧？

[TheMatrix]

我觉得还得搞几个具体的群熟练一下这些概念

对。他最后讲了character table的构建方法，这个应该练习一下。

不过没有给出每个不可约表示的matrix集合，甚至直接在正则表示找出不可约表示的基。这些不知道用computer algebra能不能做出来。

[TheMatrix]

想要理解却不容易。比如Maschke定理这个群表示论中最重要的定理，我是知其然而不知其所以然。



P的形式是怎么想到的？这个平均的技巧出现很多，用到了群的封闭性，使得P自共轭。

还有U就是U_0吧？

是啊。一页还不到，最重要的一个定理就讲完了。直奔目标啊。

U不是U₀。
U₀是任意的vector space complement。而U是构造的，是P的kernel。

[rgg]

是啊。一页还不到，最重要的一个定理就讲完了。直奔目标啊。

U不是U₀。
U₀是任意的vector space complement。而U是构造的，是P的kernel。

代数真的很难想象。也就是说V = U0+ W =U+W, U0和U都是W的complement, 但是不相等。能举个实例么？

[Caravel]

想要理解却不容易。比如Maschke定理这个群表示论中最重要的定理，我是知其然而不知其所以然。

P的形式是怎么想到的？这个平均的技巧出现很多，用到了群的封闭性，使得P自共轭。

还有U就是U_0吧？

这个是说有一个子空间在表示下不变，则可以分解成2个可约表示的直和

[Caravel]

对。他最后讲了character table的构建方法，这个应该练习一下。

不过没有给出每个不可约表示的matrix集合，甚至直接在正则表示找出不可约表示的基。这些不知道用computer algebra能不能做出来。

群论这些定理并不能唯一确定表示，还是需要穷举一下，当然也有方法

[TheMatrix]

代数真的很难想象。也就是说V = U0+ W =U+W, U0和U都是W的complement, 但是不相等。能举个实例么？

比如实二维空间V=R²。
W假如是x轴，U是y轴，U₀是任何不为x轴的subspace比如y=x。
V=W+U₀，也等于 V=W+U。
这里讲直和，没有正交等结构。

[rgg]

比如实二维空间V=R²。
W假如是x轴，U是y轴，U₀是任何不为x轴的subspace比如y=x。
V=W+U₀，也等于 V=W+U。
这里讲直和，没有正交等结构。

多谢。 默认正交补了。

[Caravel]

比如实二维空间V=R²。
W假如是x轴，U是y轴，U₀是任何不为x轴的subspace比如y=x。
V=W+U₀，也等于 V=W+U。
这里讲直和，没有正交等结构。

反过来构造比较容易,copy一个二维空间直和一下，再把其中两个基换成不正交的构造，比如 e1 + e3, e2 + e4

所以那个投影算符构造类似于施密特正交化？

[TheMatrix]

反过来构造比较容易,copy一个二维空间直和一下，再把其中两个基换成不正交的构造，比如 e1 + e3, e2 + e4

所以那个投影算符构造类似于施密特正交化？

应该是。但施密特正交化我不记得怎么搞了。

[FoxMe]

不会吧？Gram-Schmidt和消元法是矩阵的常用算法。

但是，根据“Let P0 be the projection onto W along U0”这句话，应该不是Gram-Schmidt，而是斜的投影。