掷骰子的几率计算题

[mywmkj]

这个先要看看各个点出现的组合数；
2（1,1）,3（1,2；2,1）,4,（1,3；2,2；3,1）,5（1,4；2,3；3,2；4,1）,6（1,5；2,4；3,3；4,2；5,1）,7（1,6；2,5；3,4；4,3；5,2；6,1）,8（2,6；3,5；4,4；5,3；6,2）,9（3,6；4,5；5,4；6,3）,10（4,6；5,5；6,4）,11（5,6；6,5）,12（6,6）。
出现7的概率是6/36，出现12的概率是1/36，出现别的点的概率是29/36。

开始掷骰子。如果是那29/36我们就重新开始。如果是12就结束。如果是7，就再来一次，新的一次如果是12就结束，如果是7也结束，如果是别的就重新开始。

那么，在第一次出现12或者7的条件下，两个7先出现的概率=（（6/36）/（1/36+6/36））*6/36=6/7*6/36=1/7；12先出现的概率（（1/36）/（1/36+6/36））+1/36=1/7+6/7*1/36。所以，两个7先出现的概率是，（1/7）/（1/7+1/7+6/7*1/36），略小于一半。
（修改过）

@verdelite， 我的算法和meiyoumajia的一样。而你的算法看上去更简捷但我还没理解。

我没看懂的是：

那么，在第一次出现12或者7的条件下，两个7先出现的概率=（（6/36）/（1/36+6/36））*6/36=6/7*6/36=1/7


能否解释一下？（我和meiyoumajia的算法也是从这个条件概率入手，但那是一个方程式，因为不能直接表达出这个概率）。可能我对于这句话 “在第一次出现12或者7的条件下” 理解错了，你的意思是不是“不管抛多少次，等到第一次出现12或者7以后”？而不是“第一次抛的结果是12或者7”？

谢了。

[verdelite]

@verdelite， 我的算法和meiyoumajia的一样。而你的算法看上去更简捷但我还没理解。

我没看懂的是：

那么，在第一次出现12或者7的条件下，两个7先出现的概率=（（6/36）/（1/36+6/36））*6/36=6/7*6/36=1/7


能否解释一下？（我和meiyoumajia的算法也是从这个条件概率入手，但那是一个方程式，因为不能直接表达出这个概率）。可能我对于这句话 “在第一次出现12或者7的条件下” 理解错了，你的意思是不是“不管抛多少次，等到第一次出现12或者7以后”？而不是“第一次抛的结果是12或者7”？

谢了。

是“不管抛多少次，等到第一次出现12或者7以后”。我前面说了，如果没有出现7或者12就重新开始，所以这个理解，“第一次抛的结果是12或者7”，也是对的。因为重新开始了嘛。

[mywmkj]

是“不管抛多少次，等到第一次出现12或者7以后”。我前面说了，如果没有出现7或者12就重新开始，所以这个理解，“第一次抛的结果是12或者7”，也是对的。因为重新开始了嘛。

“在第一次出现12或者7的条件下，两个7先出现的概率”， 既然已经出现12了，又怎么会有“两个7先出现”？还是没理解你的意思。
比如，出现的情况是这样：６，　１１，　３，　１２，　５，７，７。这是不是你说的一种样本？在第四次抛的时候已经出现１２了，但后来先出现的是两个连续的７而不是１２，　不知道这是不是符合你说的“第一次出现12或者7的条件下，两个7先出现”？

[CalCat]

用你的google登录colab，把code copy paste进去跑一遍，看懂在干啥，然后改呗

这样可以迅速上手

如下是我的第四个问题，希望你能帮助模拟，或者解析推导。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到点数是三连7-7-7 的结果发生。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？如果一直投掷，直到点数是四连7-7-7-7 的结果发生。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个更加稀奇的结果发生？

[YWY]

如下是我的第四个问题，希望你能帮助模拟，或者解析推导。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到点数是三连7-7-7 的结果发生。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？如果一直投掷，直到点数是四连7-7-7-7 的结果发生。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个更加稀奇的结果发生？

我的直觉答案是1/6^3和1/6^4。

同样是直觉：n连7平均需要1/6^n次。

哈哈，显然是错的，答案不可能小于1。我当时想的是同时扔n组“双骰子”每组都出7的概率。

[CalCat]

这个，我可以肯定的告诉你，上面的不对。点数是两连7-7 的结果发生， 平均来说，需要投掷42次使得这个结果发生.

[YWY]

这个，我可以肯定的告诉你，上面的不对。点数是两连7-7 的结果发生， 平均来说，需要投掷42次使得这个结果发生.

确实是错的，我自己算的42都忘了，呵呵。那就抛弃（错误的）直觉，用递推公式算，和双连7的思路非常相近。

[YWY]

确实是错的，我自己算的42都忘了，呵呵。那就抛弃（错误的）直觉，用递推公式算，和双连7的思路非常相近。

三连7递推公式：p(3) = 1/6^3, p(4) = (5/6)(1/6^3), p(5) = (5/6)(1/6^3), and p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2) + (1/6)(1/6)(5/6)p(n-3) for n > 5. Then we can deduce the expected value E = 3p(3) + 4p(4) + 5p(5) + ... by solving E out of an equation. Or simply, p(1) = p(2) = 0, p(3) = 1/6^3, and p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2) + (1/6)(1/6)(5/6)p(n-3) for n > 3.

[CalCat]

三连7递推公式：p(3) = 1/6^3, p(4) = (5/6)(1/6^3), p(5) = (5/6)(1/6^3), and p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2) + (1/6)(1/6)(5/6)p(n-3) for n > 5. Then we can deduce the expected value E = 3p(3) + 4p(4) + 5p(5) + ... by solving E out of an equation. Or simply, p(1) = p(2) = 0, p(3) = 1/6^3, and p(n) = (5/6)p(n-1) + (1/6)(5/6)p(n-2) + (1/6)(1/6)(5/6)p(n-3) for n > 3.

Correct. I calculated this with your formula and got a correct answer, 258.
Excellent!

[CalCat]

Another way to calculate this is by solving a set of equations. ... but it takes more space to write.

[（ヅ）]

如下是我的第四个问题，希望你能帮助模拟，或者解析推导。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到点数是三连7-7-7 的结果发生。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？如果一直投掷，直到点数是四连7-7-7-7 的结果发生。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个更加稀奇的结果发生？

代码： 全选

average steps to end with 3 7s is: 257.8814738461538
average steps to end with 4 7s is: 1554.8962184615384

[verdelite]

“在第一次出现12或者7的条件下，两个7先出现的概率”， 既然已经出现12了，又怎么会有“两个7先出现”？还是没理解你的意思。
比如，出现的情况是这样：６，　１１，　３，　１２，　５，７，７。这是不是你说的一种样本？在第四次抛的时候已经出现１２了，但后来先出现的是两个连续的７而不是１２，　不知道这是不是符合你说的“第一次出现12或者7的条件下，两个7先出现”？

你需要适应一下统计学的语言。这儿，“出现12或者7的条件下”，表述的是：有一个event 定义为出现12或者7。或者说，E={12, 7}。这里面的逗号不代表先后关系，而是代表并列关系。不管是出现12，还是出现7，都代表这个event出现。

我谈的就是在这个event出现的条件下的条件概率。假定这个event出现，那么出现的是12的概率是1/7；出现的是7的概率是6/7。

“在出现这个event的条件下，两个7先出现”代表的意思是，这一个是7，下一个也是7。“12先出现”的意思是要么现在的是12，要么现在的是7并且下一个是12。如果不是出现这里表表述的情况，那么重新开始。

你给的例子，在第四次时候就已经出现这个event了：7出现或者12出现，这个event 都算是出现了。这里出现的是12。

[mywmkj]

你需要适应一下统计学的语言。这儿，“出现12或者7的条件下”，表述的是：有一个event 定义为出现12或者7。或者说，E={12, 7}。这里面的逗号不代表先后关系，而是代表并列关系。不管是出现12，还是出现7，都代表这个event出现。

我谈的就是在这个event出现的条件下的条件概率。假定这个event出现，那么出现的是12的概率是1/7；出现的是7的概率是6/7。

“在出现这个event的条件下，两个7先出现”代表的意思是，这一个是7，下一个也是7。“12先出现”的意思是要么现在的是12，要么现在的是7并且下一个是12。如果不是出现这里表表述的情况，那么重新开始。

你给的例子，在第四次时候就已经出现这个event了：7出现或者12出现，这个event 都算是出现了。这里出现的是12。

原来你原帖里那句话是这个意思，学习了。

不过你这个推导过程好像有个跳跃，你说的
“在。。。条件下两个7先出现的概率P1是1/7，12先出现的概率P2是1/6“，
”所以，两个7先出现的概率P3是（1/7）/（1/7+1/7+6/7*1/36）= 6/13” 。
这里的概率P3应该是个双重条件概率，就是说是第一个条件下的条件概率,意思应该是：

在第一次出现12或者7的条件下，再加上“紧接着再抛一次就能结束游戏的条件”下，（即在这两个条件共同作用下）
停止游戏时结果是（7，7）的事件占6/13，
停止游戏时结果是（12）的事件占7/13。

从这个条件概率怎么一下子就同楼主要问的那个概率划了等号？原始的那个概率是没有任何条件的概率。这一步我跳不过去，请再解释一下，多谢。
（另外有个疑问还是关于你帖子里的那个条件：“在第一次出现12或者7的条件下”，这个条件不是对于样本空间中的任何一个样本都是成立的吗？如果我们把样本空间里的每个样本定义为“每一次连续抛骰子直到那两种结果出现”，那任何一个样本都满足这个条件，也就是说你前面的解释“有一个event 定义为出现12或者7”，这个event就是整个样本空间。
不知道你的样本空间是怎么定义的，也请说明一下）

[verdelite]

从这个条件概率怎么一下子就同楼主要问的那个概率划了等号？原始的那个概率是没有任何条件的概率。这一步我跳不过去，请再解释一下，多谢。
（另外有个疑问还是关于你帖子里的那个条件：“在第一次出现12或者7的条件下”，这个条件不是对于样本空间中的任何一个样本都是成立的吗？如果我们把样本空间里的每个样本定义为“每一次连续抛骰子直到那两种结果出现”，那任何一个样本都满足这个条件，也就是说你前面的解释“有一个event 定义为出现12或者7”，这个event就是整个样本空间。
不知道你的样本空间是怎么定义的，也请说明一下）

回答一下第一个问题，为啥划等号。

我算的是，如果7或者12出现，那么再投一次，这时计算两个7出现的概率为1/7，和有一个12出现的概率为1/6。

在游戏结束的前提下，它们发生的概率分别为（1/7）/（1/7+1/6）,和（1/6）/（1/7+1/6）。这是因为游戏只可能以这种方式结束。别的都得重来。重来后还是这个比例（1/7：1/6）。这是因为无穷个相同的比例加权平均，还是得到同一个比例。

例如有两人甲和乙，我每次见到他们我都给钱。比例为6：7。有时候给有时候不给，有时候给的多有时候给的少。那么假设我给了钱，那么一年内总共给他们的钱的比例是多少？最后肯定还是6：7。

[CalCat]

代码： 全选

average steps to end with 3 7s is: 257.8814738461538
average steps to end with 4 7s is: 1554.8962184615384

前面的第四个问题的精确解是258 和1554。如下是我的第五个问题，希望你能帮助模拟。我已经学习了Colab，发现功能非常的强大，所以，如果可能的话，你也贴一下code。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到点数是三个7 连续出现或者被12间隔的出现。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？（更加详细的解释：7-7-7出现可以，7-12-7-7 出现也可以，7-12-12-7-12-7出现也可以。只要三个7不被12以外的任何点数隔断就行）

[mywmkj]

回答一下第一个问题，为啥划等号。

我算的是，如果7或者12出现，那么再投一次，这时计算两个7出现的概率为1/7，和有一个12出现的概率为1/6。

在游戏结束的前提下，它们发生的概率分别为（1/7）/（1/7+1/6）,和（1/6）/（1/7+1/6）。这是因为游戏只可能以这种方式结束。别的都得重来。重来后还是这个比例（1/7：1/6）。这是因为无穷个相同的比例加权平均，还是得到同一个比例。

例如有两人甲和乙，我每次见到他们我都给钱。比例为6：7。有时候给有时候不给，有时候给的多有时候给的少。那么假设我给了钱，那么一年内总共给他们的钱的比例是多少？最后肯定还是6：7。

我敢打赌，用你的思路来解这个问题的人，万中无一。
两种结果的比例可以由前两次投骰子来得到，这个没有问题。 但是你原帖里的表达还是有bug的，那个都不能算是个条件概率。因为如我前面所说，这个条件其实就等于没有条件，除非你的样本空间的定义很特别 - 还请列出你的定义来看看。

[meiyoumajia]

不考虑其它，以第一个7 7出现而结束的情况也可以这样算
L =
6/36*(6/36 * 2 + 30/36 * （L+2)) +
30/36 * (L+1)
可得L= 42



不考虑其它，以第一个7 7 7 出现而结束的情况
L =
6/36*
(
6/36*(6/36 *3 + 30/36* (L+3)) +
30/36* (L+2)
）+
30/36* (L+1)

也可得到
L = 258

连续四个7的情况也可用此法解出。

[CalCat]

不错， 虽然我还没有看懂，但是，我知道，至少有两种办法搞这个计算。
你能不能也考虑一下我的第五个问题：如果12 不打破7-7-7的链条，那么， 平均来说，需要多少步使得三个近相连的7的结果发生？

[meiyoumajia]

不错， 虽然我还没有看懂，但是，我知道，至少有两种办法搞这个计算。
你能不能也考虑一下我的第五个问题：如果12 不打破7-7-7的链条，那么， 平均来说，需要多少步使得3个近相连的7的结果发生？

把或以第一个7 7结束，或以第一个12结束的情况做出来。以或第一个7 7 7结束的情况可以类似被做出来（但要把777和12的占比先算出来----按照 最早的那个“抽样法”即可类似地算出）。

只列前者。

L =
[
6/36*(6/36*2+29/36*6/13*(L+2))
+
29/36*6/13*(L+1)
]
/
[
6/36*(6/36+29/36*6/13)
+
29/36*6/13
]
得出L= 19 + 11/13
与前几天算出的结果相同

[（ヅ）]

前面的第四个问题的精确解是258 和1554。如下是我的第五个问题，希望你能帮助模拟。我已经学习了Colab，发现功能非常的强大，所以，如果可能的话，你也贴一下code。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到点数是三个7 连续出现或者被12间隔的出现。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？（更加详细的解释：7-7-7出现可以，7-12-7-7 出现也可以，7-12-12-7-12-7出现也可以。只要三个7不被12以外的任何点数隔断就行）

代码： 全选

average steps to end with 3 7s is: 245.10843615384616