有限群表示理论的核心定理

[FoxMe]

这么严谨。转帖个完整证明。lemma 2.5 and theorem 2.6 on page 4 and 5. https://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/fgreps.pdf

这篇文章很像杨振宁读过的书的最后一章：
Modern algebraic theories, by Leonard E. Dickson
https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id= ... =1up&seq=1
用了20页讲群表示论。杨振宁在西南联大时，就能把群表示论学懂，很厉害。

这一章我以前看过一眼，没看懂。现在才知道是怎么回事。

[Caravel]

这篇文章很像杨振宁读过的书的最后一章：
Modern algebraic theories, by Leonard E. Dickson
https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id= ... =1up&seq=1
用了20页讲群表示论。杨振宁在西南联大时，就能把群表示论学懂，很厉害。

这一章我以前看过一眼，没看懂。现在才知道是怎么回事。

不可否认有些人理解能力强，又何况杨武之应该教过抽象代数吧

[FoxMe]

Dickson是杨武之（中国第一个数论博士）的导师，这本书1926年出版，Maschke定理，Schur引理才出现不久，可能是最早讲群表示论的书之一。老杨运气好，他爹顺手从书架上拿出这本书给他。

Modern algebraic theories既讲了线性代数，又讲了抽象代数，不多见。

[TheMatrix]

不可约表示不一定是faithful的。

比如Z₂ X Z₂的全部4个不可约表示，都是1维的，没有一个是faithful的：

ρ₁: (1,1,1,1)
ρ₂: (1,-1,-1,1)
ρ₃: (1,-1,1,-1)
ρ₄: (1,1,-1,-1)

要两个不可约表示组合起来的2维表示才是faithful的。

[FoxMe]

Faithful就是一对一，有什么好处？为什么要faithful？

[TheMatrix]

Faithful就是一对一，有什么好处？为什么要faithful？

一个同构的representation还是有好处的吧？

[TheMatrix]

我对这两个图差不多理解了。可以这么看：
傅里叶变换得到的是matrix-valued function on the set of irreducible representations.

定义域，不可约表示的集合，本身没有其他结构，就是个集合。目前只能这么看。

但是这个函数的值域还不是普通的值域。首先是matrix-valued。而且每个块dimension还不一样。可以两种看法：

一是看成fiber bundle，每个点（不可约表示）的值域是一个fiber，每个fiber还不一样 - 没有标准fiber，所以还不是标准的fiber bundle。

另一种是看成第一个图上的 Σ End(V_i)。但是也需要额外说明，每个点上的值域子块不同。

我个人更喜欢fiber bundle的看法。

[Caravel]

我对这两个图差不多理解了。可以这么看：
傅里叶变换得到的是matrix-valued function on the set of irreducible representations.

定义域，不可约表示的集合，本身没有其他结构，就是个集合。目前只能这么看。

但是这个函数的值域还不是普通的值域。首先是matrix-valued。而且每个块dimension还不一样。可以两种看法：

一是看成fiber bundle，每个点（不可约表示）的值域是一个fiber，每个fiber还不一样 - 没有标准fiber，所以还不是标准的fiber bundle。

另一种是看成第一个图上的 Σ End(V_i)。但是也需要额外说明，每个点上的值域子块不同。

我个人更喜欢fiber bundle的看法。

是的，因为变换是矩阵，所以反变换必须要trace才能得到一个数值。上面那张照片是舒尔引理的推论，center和所有的元素commute，所以只能是单位矩阵乘以一个常数

[FoxMe]

什么是fiber bundle？哪门课里学的？

[TheMatrix]

什么是fiber bundle？哪门课里学的？

纤维丛。微分几何里讲的。

[Caravel]

纤维丛。微分几何里讲的。

Lie group就是一个manifold，

[FoxMe]

纤维丛和李群有什么关系？

[TheMatrix]

纤维丛和李群有什么关系？

李群在纤维丛中主要是作为纤维丛的structure group。纤维丛可以说是由标准纤维的family of deformation组成的。deformation要求纤维和纤维之间的变化是同胚，也就是要在同胚群中连续变化。李群一般是纤维同胚群的子群，比如SO3是欧几里德空间同胚群的子群。