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Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 27日 09:41
由 FoxMe
这篇文章很像杨振宁读过的书的最后一章：
Modern algebraic theories, by Leonard E. Dickson
https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id= ... =1up&seq=1
用了20页讲群表示论。杨振宁在西南联大时，就能把群表示论学懂，很厉害。
这一章我以前看过一眼，没看懂。现在才知道是怎么回事。
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 27日 11:34
由 Caravel
不可否认有些人理解能力强，又何况杨武之应该教过抽象代数吧
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 27日 11:59
由 FoxMe
Dickson是杨武之（中国第一个数论博士）的导师，这本书1926年出版，Maschke定理，Schur引理才出现不久，可能是最早讲群表示论的书之一。老杨运气好，他爹顺手从书架上拿出这本书给他。
Modern algebraic theories既讲了线性代数，又讲了抽象代数，不多见。
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 28日 12:25
由 TheMatrix
不可约表示不一定是faithful的。
比如Z2 X Z2的全部4个不可约表示，都是1维的，没有一个是faithful的：
ρ1: (1,1,1,1)
ρ2: (1,-1,-1,1)
ρ3: (1,-1,1,-1)
ρ4: (1,1,-1,-1)
要两个不可约表示组合起来的2维表示才是faithful的。
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 28日 15:42
由 FoxMe
Faithful就是一对一，有什么好处？为什么要faithful？
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 28日 16:52
由 TheMatrix
FoxMe 写了： 2022年 12月 28日 15:42
Faithful就是一对一，有什么好处？为什么要faithful？
一个同构的representation还是有好处的吧？
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 30日 15:03
由 TheMatrix
我对这两个图差不多理解了。可以这么看：
傅里叶变换得到的是matrix-valued function on the set of irreducible representations.
定义域，不可约表示的集合，本身没有其他结构，就是个集合。目前只能这么看。
但是这个函数的值域还不是普通的值域。首先是matrix-valued。而且每个块dimension还不一样。可以两种看法：
一是看成fiber bundle，每个点（不可约表示）的值域是一个fiber，每个fiber还不一样 - 没有标准fiber，所以还不是标准的fiber bundle。
另一种是看成第一个图上的 Σ End(V
i)。但是也需要额外说明，每个点上的值域子块不同。
我个人更喜欢fiber bundle的看法。
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 30日 15:43
由 Caravel
TheMatrix 写了： 2022年 12月 30日 15:03
我对这两个图差不多理解了。可以这么看：
傅里叶变换得到的是matrix-valued function on the set of irreducible representations.
定义域，不可约表示的集合，本身没有其他结构，就是个集合。目前只能这么看。
但是这个函数的值域还不是普通的值域。首先是matrix-valued。而且每个块dimension还不一样。可以两种看法：
一是看成fiber bundle，每个点（不可约表示）的值域是一个fiber，每个fiber还不一样 - 没有标准fiber，所以还不是标准的fiber bundle。
另一种是看成第一个图上的 Σ End(V
i)。但是也需要额外说明，每个点上的值域子块不同。
我个人更喜欢fiber bundle的看法。
是的，因为变换是矩阵，所以反变换必须要trace才能得到一个数值。上面那张照片是舒尔引理的推论，center和所有的元素commute，所以只能是单位矩阵乘以一个常数
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 30日 16:35
由 FoxMe
什么是fiber bundle？哪门课里学的？
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 30日 16:41
由 TheMatrix
FoxMe 写了： 2022年 12月 30日 16:35
什么是fiber bundle？哪门课里学的？
纤维丛。微分几何里讲的。
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 30日 16:56
由 Caravel
TheMatrix 写了： 2022年 12月 30日 16:41
纤维丛。微分几何里讲的。
Lie group就是一个manifold，
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 30日 17:25
由 FoxMe
纤维丛和李群有什么关系？
Re: 有限群表示理论的核心定理
发表于 ： 2022年 12月 30日 19:27
由 TheMatrix
FoxMe 写了： 2022年 12月 30日 17:25
纤维丛和李群有什么关系？
李群在纤维丛中主要是作为纤维丛的structure group。纤维丛可以说是由标准纤维的family of deformation组成的。deformation要求纤维和纤维之间的变化是同胚，也就是要在同胚群中连续变化。李群一般是纤维同胚群的子群，比如SO3是欧几里德空间同胚群的子群。