掷骰子的几率计算题

[YWY]

如下是我的第五个问题，希望你能帮助模拟。我已经学习了Colab，发现功能非常的强大，所以，如果可能的话，你也贴一下code。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到点数是三个7 连续出现或者被12间隔的出现。请问， 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？（更加详细的解释：7-7-7出现可以，7-12-7-7 出现也可以，7-12-12-7-12-7出现也可以。只要三个7不被12以外的任何点数隔断就行）

The expected value E satisfies the following equation:
E = P(1st not 7)*(1+E) + \sum_{n = 3}^{\infty} n*P(lucky with the 3rd 7 at the nth) + \sum_{n = 2}^{\infty} P(lucky until the nth)*(29/36)*(n+E),
in which P(1st not 7) = 5/6 is the probability of not getting 7 at the 1st roll of dice, P(lucky with the 3rd 7 at the nth) is the probability of getting 7 at the first roll then then followed by 12's or 7's only and then getting the 3rd 7 at the nth roll of dice, P(lucky until the nth) is the probability of getting 7 at the first roll followed by 12's and at most one 7 by (and including) the (n-1)st roll, and 29/36 is the probability of getting neither 12 nor 7 at the nth roll. Both P(lucky with the 3rd 7 at the nth) and P(lucky until the nth) can be computed explicitly.

This may not be the cleverest way to compute E. Just a thought...

[meiyoumajia]

新题目也可以直接用L（不过，现在有“辅助性”的L）的循环方程式（组）算出

不失题目本质，为了叙述方便，考虑2，而不是12。


只考虑以第一个7 与7 之间只夹着0或任何个2的情况。（之前那个连三7的情况比连两7的情况繁琐。而3个7夹2的情况就更繁琐了。）


原始问题(a-)分为7-, 2-和r-三个子问题。r-的儿子问题就是a-，按此“约化”后，7-的子孙里有a-和2-，2-的子孙里有a-和2-。
根据这两个，按照之前对77的那种做法，可列出a-的预期值L（也就是题目要得到的）和2-的预期值L2的两个方程。

应该只是有些繁琐。

(7, 6/36)
-7
-2-
-r-a-


(2, 1/36)
-7
-2-
-r-a-

(r, 29/36)
-a-

[CalCat]

我前面不是贴了code了吗？每次你要改需求，其实只有几行改动而已，主体没变化

Alright. I'll look for the codes and try to learn myself. Thank you again.

[CalCat]

可以画个简单的“decision tree”

1/6成功（在以第一个连7基础上又增了个7）
5/6失败（在以第一个连7基础上又增了个非7，已经做了L(n)+1;需要重新开始，继续下去，多做平均次数L(n+1)

L(n+1) =
1/6*(L(n)+1)+
5/6*(L(n)+1+L(n+1))

因此
L(n+1) = 6(Ln+1)

我研究了一下你的这个推导，觉得是正确的。对于这个问题，我们还可以用另外一个变量， Dn, 来研究：

Let s = 1/6, the probability of rolling a 7；let t = 5/6, the probability of rolling a non-7.
Let Dn = additional rolls required to get a M-7 chain after you get a n-7 chain, where M is the number of 7s in the target chain.
Then, we have this general equation,

Dn = s * Dn+1 + t * D0 + 1.

别人好像都是用的上面的这个递推公式， 不是你的那个；但是，我自己还不能从你的公式推导到这个公式，你帮忙看看？

[meiyoumajia]

我研究了一下你的这个推导，觉得是正确的。对于这个问题，我们还可以用另外一个变量， Dn, 来研究：

Let s = 1/6, the probability of rolling a 7；let t = 5/6, the probability of rolling a non-7.
Let Dn = additional rolls required to get a M-7 chain after you get a n-7 chain, where M is the number of 7s in the target chain.
Then, we have this general equation,

Dn = s * Dn+1 + t * D0 + 1.

别人好像都是用的上面的这个递推公式， 不是你的那个；但是，我自己还不能从你的公式推导到这个公式，你帮忙看看？

这是另外一种思路，考虑了另外的细节。
平均本来就不需要所有细节。不同思路考虑的细节不同很正常。相互之间不一定能互推。

[CalCat]

但是，对于这个问题，殊途同归，两个结果完全吻合。这就说明是可以互推的。你再想想看。

[meiyoumajia]

但是，对于这个问题，殊途同归，两个结果完全吻合。这就说明是可以互推的。你再想想看。

结果相同，但思路不同，用的细节不完全同，因此不一定可以互推。
比如，这两种思路应该都没法反推出以。。。结束的概率递推公式。


而在这里你实际是要从最后的结果（也就是“你的公式”/我的公式）反推出你那个递推公式。实际是不可能的。除非用更多的细节。

[CalCat]

首先感谢大家的帮助，虽然目前还有少许的问题没有解决，但是，我们暂时搁置，先看这个新问题; 因为新旧问题都是相关的，互相帮助的。希望你们推导或者模拟。如下是我的第六个问题：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 如果把投掷的次数固定在100次，那么，点数是三连7-7-7出现并结束的情况的几率是多少？

[meiyoumajia]

首先感谢大家的帮助，虽然目前还有少许的问题没有解决，但是，我们暂时搁置，先看这个新问题; 因为新旧问题都是相关的，互相帮助的。希望你们推导或者模拟。如下是我的第六个问题：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 如果把投掷的次数固定在100次，那么，点数是三连7-7-7出现并结束的情况的几率是多少？

前面的各种问题其都有被完全解决的解析方法了。只是777和72-2-272-2-2-7比较繁琐，而大家（通常）不愿意去具体算出。

你现在这个问题就需要不得不完全用计算机算了，可以算出比较精确的解（还是之前的两种办法的任何一个都可：某种递推关系或者模拟）。

[YWY]

首先感谢大家的帮助，虽然目前还有少许的问题没有解决，但是，我们暂时搁置，先看这个新问题; 因为新旧问题都是相关的，互相帮助的。希望你们推导或者模拟。如下是我的第六个问题：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 如果把投掷的次数固定在100次，那么，点数是三连7-7-7出现并结束的情况的几率是多少？

请解释“并结束”。比如投100次，第34、35、36投都是7，但第100投是9，算不算？

[CalCat]

请解释“并结束”。比如投100次，第34、35、36投都是7，但第100投是9，算不算？

更加准确的描述我的第六个问题：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 如果把投掷的次数固定在100次，那么，点数是三连7-7-7出现并结束的情况的几率是多少？（更加精确的描述：7-7-7 可以出现，但是，7-7-7-7 不能出现在这固定的100次投掷里头； 如果， 7-7-7 出现了两次在一个100次投掷组，只算一次）

[YWY]

前面的各种问题其都有被完全解决的解析方法了。只是777和72-2-272-2-2-7比较繁琐，而大家（通常）不愿意去具体算出。

你现在这个问题就需要不得不完全用计算机算了，可以算出比较精确的解（还是之前的两种办法的任何一个都可：某种递推关系或者模拟）。

而且，加州猫的最新问题可以忘掉骰子，抽象描述更清晰：一个事件发生的概率是p，连续重复N次，求出现n次连续发生的概率。

[CalCat]

是的，就是个streak calculator.

[YWY]

更加准确的描述我的第六个问题：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 如果把投掷的次数固定在100次，那么，点数是三连7-7-7出现并结束的情况的几率是多少？（更加精确的描述：7-7-7 可以出现，但是，7-7-7-7 不能出现在这固定的100次投掷里头； 如果， 7-7-7 出现了两次在一个100次投掷组，只算一次）

抽象描述更清晰：一个事件发生的概率是p，连续重复N次，求出现n次连续发生，但不出现n+1次连续发生的概率。

[CalCat]

我又想了一下，觉得前面的描述还是有问题。现在再次更新。如下是第六个问题：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 把投掷的次数的上限固定在100次一组，如果点数是三连7-7-7出现，那么就是停止继续投掷完成这组。请问， 7-7-7出现的几率是多少？

[YWY]

我又想了一下，觉得前面的描述还是有问题。现在再次更新。如下是第六个问题：

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 把投掷的次数的上限固定在100次一组，如果点数是三连7-7-7出现，那么就是停止继续投掷完成这组。请问， 7-7-7出现的几率是多少？

Suppose the probability of an experiment to succeed is r (e.g., r = 1/6). Question: if we conduct n experiments, what is the probability of getting 3 consecutive successes? Let this probability be p(n). Then p(1) = p(2) = 0, p(3) = r^3, p(n) = r^3 + (1-r)p(n-1) + r(1-r)p(n-2) + r^2(1-r)p(n-3) for n > 3.

[CalCat]

第六个问题的重点在这里：“把投掷的次数的上限固定在100次一组”， 7-7-7出现在这组里面的几率是多少？

[meiyoumajia]

用解析办法做，这个问题复杂多了，不只是繁琐。

[CalCat]

我自己不会作这个问题，但是，有online streak calculators; 你只要输入数据，就会计算出相应的几率。我感觉，这个问题没有你说的那么复杂，可能就是一个公式。。。

[meiyoumajia]

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