问下：哪本书里面证明Jordan Normal Form存在性，最容易懂

[verdelite]

嗯。对。SVD我没学过。

SVD入门最佳视频，(讲的是SVD）

[TheMatrix]

PID模分解定理我以前基本上就是直接接受了。看来这里有不trivial的地方啊。比如循环分解定理：找一个向量v，它生成的子模是一个direct summand。这个direct summand的要求不容易证明。

不过话说回来，一个复杂构造的细节，除非自己正在用，或者能发扬光大到处去用，否则就不去管它了。

[FoxMe]

定义A4.2.1 设R是整环，M是R模.对v∈M，如果有非零的r∈R使得rv= ，则称 v 是 M 的一个挠元 (torsion element).一个模如果无挠元则称为无挠的 (torsion free).如果模的所有元素都是挠元，则称 M 是挠模 (torsion module)

尼玛torsion是这么翻译的，怎么解释？

[Caravel]

线代真是非常有用，平时比分析用的多多了。本科就学了一点点，后面都是零星学了学。

矩阵好像公认是中国的发明

[TheMatrix]

SVD入门最佳视频，(讲的是SVD）

看了。很好。讲的是PCA。

[rgg]

看了。很好。讲的是PCA。

PCA 是svd 平方.

[TheMatrix]

PCA 是svd 平方.

确实看到PC1的eigenvalue是sum of square，而singular value是eigenvalue的square root.

这里也有点疑问：他谈论PC1（最大的principal direction）的eigenvalue，那么PC1是一个线性变换了？什么空间？什么矩阵？

[verdelite]

看了。很好。讲的是PCA。

你就是不肯信我说的。他是用SVD的方法做PCA，绝大多数篇幅是在讲解SVD是怎么回事，如何直观理解SVD。从那移动中心点到坐标原点开始。

只要座标轴是gene，他就是在讲SVD。座标轴是pc的时候才是在讲PCA。

[TheMatrix]

你就是不肯信我说的。他是用SVD的方法做PCA，绝大多数篇幅是在讲解SVD是怎么回事，如何直观理解SVD。从那移动中心点到坐标原点开始。

只要座标轴是gene，他就是在讲SVD。座标轴是pc的时候才是在讲PCA。

PCA和SVD我都不是很熟悉。他视频里面说的都是PCA，你的意思是他本质讲的是SVD？那这里还有个弯，门外汉哪知道啊？

看来咱俩有误会啊。

[YWY]

你就是不肯信我说的。他是用SVD的方法做PCA，绝大多数篇幅是在讲解SVD是怎么回事，如何直观理解SVD。从那移动中心点到坐标原点开始。

只要座标轴是gene，他就是在讲SVD。座标轴是pc的时候才是在讲PCA。

你要说视频和SVD有关（甚至关系很紧密），我毫不怀疑。但你非要说该视频是SVD的（最佳）入门视频，我不信。因为SVD是个纯线性代数的定理，我个人心目中的入门视频应该从SVD的准确表述和严谨证明入手，而不是上来就讲（而且只讲）一些该定理在实际中的应用。

再说一遍，我不是说该视频不好，只是想说我不会把该视频做为入门视频推荐给想学习了解SVD的人。

[FoxMe]

SVD可以另起一帖。

[FoxMe]

PID模分解定理我以前基本上就是直接接受了。看来这里有不trivial的地方啊。比如循环分解定理：找一个向量v，它生成的子模是一个direct summand。这个direct summand的要求不容易证明。

循环分解定理对应于线性代数里的循环不变子空间，以前我没有理解。Torsion-free这部分比较明显，主要在研究torsion这部分。

我以前不知道矢量空间可以看作环F[x]上的模：

若 V 是域 F 上的 n 维向量空间，则 V 作为 F[x] 模是挠模（torsion module）.

[YWY]

循环分解定理对应于线性代数里的循环不变子空间，以前我没有理解。

我以前不知道矢量空间可以看作环F[x]上的模：

若 V 是域 F 上的 n 维向量空间，则 V 作为 F[x] 模是挠模（torsion module）.

这里需要定下一个n x n矩阵（或者说是V到自身的一个线性变换），然后变元x就当做是该矩阵（变换）作用在V中的向量。通过研究V的F[x]模结构达到研究该矩阵（变换）的目的。由于F[x]是PID，我们可用PID上有限生成模的结构定理。

[TheMatrix]

循环分解定理对应于线性代数里的循环不变子空间，以前我没有理解。Torsion-free这部分比较明显，主要在研究torsion这部分。

我以前不知道矢量空间可以看作环F[x]上的模：

若 V 是域 F 上的 n 维向量空间，则 V 作为 F[x] 模是挠模（torsion module）.

上次YWY说过，当时我也不知道。他说了怎么构造的，我觉得很神奇。感觉一个大环作用在一个小模上。环比模还大。

[TheMatrix]

这里需要定下一个n x n矩阵（或者说是V到自身的一个线性变换），然后变元x就当做是该矩阵（变换）作用在V中的向量。通过研究V的F[x]模结构达到研究该矩阵（变换）的目的。由于F[x]是PID，我们可用PID上有限生成模的结构定理。

确实很神奇。而且抽象上去真的有用。好的抽象一定是有用的。

[FoxMe]

对，相当高明。PID上有限生成模的分解类似于整数分解n = p_1^{e_1} p_2^{e_2}...，不过对每一项p_1^{e_1}还要继续分解为循环子模，它的基是{v, sigma(v), sigma^2(v),...}.

如此形状的基在域的扩张中叫normal basis，看了一下，还真和群表示有关：

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_ba ... nt_of_view

[FoxMe]

我感觉用多项式分解研究矩阵标准型和用群函数研究群表示有相似之处。。。

对，龚升的线性代数五讲：用抽象代数去研究线性代数；表示论：用线性代数去研究抽象代数。但是它们像是独立发展的，我还没打通。

[rgg]

确实看到PC1的eigenvalue是sum of square，而singular value是eigenvalue的square root.

这里也有点疑问：他谈论PC1（最大的principal direction）的eigenvalue，那么PC1是一个线性变换了？什么空间？什么矩阵？

没看视频。 我试着捋捋：
假如你有个矩阵A(m x n), 那它可以看作一个从n维空间到m空间的线性映射。 SVD是说你总能找到原空间和像空间的正交基，使得A是这两组基之间的投影和scaling变换。 A= USV', V 是原空间的基， U是像空间的基。

那么PCA就是，　假如你有一个方阵C(n x n), 如果你可以把它写成　C= A'A(也就是说如果C可以写成一个线性变换A定义的内积） 那么　C= VS^2V'. A的正交基V就成了C的主成分。 （PC1是V的列）。

[verdelite]

没看视频。 我试着捋捋：
假如你有个矩阵A(m x n), 那它可以看作一个从n维空间到m空间的线性映射。 SVD是说你总能找到原空间和像空间的正交基，使得A是这两组基之间的投影和scaling变换。 A= USV', V 是原空间的基， U是像空间的基。

那么PCA就是，　假如你有一个方阵C(n x n), 如果你可以把它写成　C= A'A(也就是说如果C可以写成一个线性变换A定义的内积） 那么　C= VS^2V'. A的正交基V就成了C的主成分。 （PC1是V的列）。

是的。我们做PCA一般是对自相关矩阵做的，这就满足这些条件。

视频是告诉我们，怎样可以用逼近算法算SVD，且按照singular value 的大小，（也是eigen value的大小），顺序获得SVD 的各components。这样就给了我们一个直观理解，去除了SVD的神秘感。而且有时我们只需要前几个components。

[TheMatrix]

没看视频。 我试着捋捋：
假如你有个矩阵A(m x n), 那它可以看作一个从n维空间到m空间的线性映射。 SVD是说你总能找到原空间和像空间的正交基，使得A是这两组基之间的投影和scaling变换。 A= USV', V 是原空间的基， U是像空间的基。

那么PCA就是，　假如你有一个方阵C(n x n), 如果你可以把它写成　C= A'A(也就是说如果C可以写成一个线性变换A定义的内积） 那么　C= VS^2V'. A的正交基V就成了C的主成分。 （PC1是V的列）。

谢谢。第一段理解了。第二段还不太明白。