新未名空间

（ヅ） 写了： 2023年 1月 22日 14:11 Q(i,j):= f(i,j) (根据上面lbs的分析)

我知道Q(i,j) = f(i,j)，但不懂其代表的意义，lbs的帖子里说f(a, b)表示 (a, b) 状态对应的可能的填充方式的总数，但我就是没看明白这句话。以f(1, 2)为例，如果是
1234o
678oo
这个情况（o代表未填数），那只有一种填法。但如果是
1357o
246oo
这个情况，那就有两种填法。所以我糊涂了。

YWY 写了： 2023年 1月 22日 14:41 我知道Q(i,j) = f(i,j)，但不懂其代表的意义，lbs的帖子里说f(a, b)表示 (a, b) 状态对应的可能的填充方式的总数，但我就是没看明白这句话。以f(1, 2)为例，如果是
1234o
678oo
这个情况（o代表未填数），那只有一种填法。但如果是
1357o
246oo
这个情况，那就有两种填法。所以我糊涂了。

我明白了，f(1, 2)代表的是如何填
xxxxo
xxxoo
的总填法，其中x是不许填的，只填
xo
oo
这个直拐角的形状。现在我明白了，谢，赞！

（我前面帖子里给的方法也能算，属于递推，但不知能不能用来做归纳法得出想要的公式。）

YWY 写了： 2023年 1月 22日 15:09 我明白了，f(1, 2)代表的是如何填
xxxxo
xxxoo
的总填法，其中x是不许填的，只填
xo
oo
这个直拐角的形状。现在我明白了，谢，赞！

（我前面帖子里给的方法也能算，属于递推，但不知能不能用来做归纳法得出想要的公式。）

这个问题子问题都有自己的约束，可能没有一个简单的理解，需要递归
而且有不同的方法，我用分析第一排跳过数的情形也可以得到答案

Caravel 写了： 2023年 1月 22日 15:25 这个问题子问题都有自己的约束，可能没有一个简单的理解，需要递归
而且有不同的方法，我用分析第一排跳过数的情形也可以得到答案

我们帖子里各自给出的思路差不多，你考虑间隔，我考虑数值的上界，都能算出来。

Caravel 写了： 2023年 1月 22日 11:17 楼主是不是去什么趣味群论找来的题目，或者所有组合数学就是群论的初等版

Amusements in Mathematics，我从旧书店两刀买来的。

是这auction右边这本:
https://www.ebay.com/itm/175504640789

YWY 写了： 2023年 1月 22日 15:31 我们帖子里各自给出的思路差不多，你考虑间隔，我考虑数值的上界，都能算出来。

又读了一下你的帖子，我们的方法是一样的

YWY 写了： 2023年 1月 22日 15:09 我明白了，f(1, 2)代表的是如何填
xxxxo
xxxoo
的总填法，其中x是不许填的，只填
xo
oo
这个直拐角的形状。现在我明白了，谢，赞！

（我前面帖子里给的方法也能算，属于递推，但不知能不能用来做归纳法得出想要的公式。）

还可以另外一种定义
考虑5+5的情形
g(4,4)
= combination(
1 x x x x x (第一行4个未知数x)
x x x x x 10 (第二行4个未知数x)
)
=combination(
1 x x x 9
x x x x 10)
+
combination(
1 x x x x
x x x 9 10)

=combination(
1 x x x 9
x x x 8 10)
+
combination(
1 x x x x
x x x 9 10)
= g(3,3) + g(4,3)

又有
g(m, 0)= 1
g(m,n) = g(m-1,n) + g(m, n-1)(最大的一个未知数只有2个位置，第一行和第二行最右边，可以填)

道理是一样的

（ヅ） 写了： 2023年 1月 22日 12:14 参考@lbs的思路用归纳法

把dp matrix Q写下来，
row 0:1 1 1 1 1 1....
row 1:0 1 2 3 4 5....
row 2:0 0 2 5 9 14 20 27 35
...
Q(i, j) = Q(i-1,j) + Q(i, j-1), j > i
Q(n,n) = Q(n-1,n)

能算出来
Q(0,j) = 1
Q(1, j) = j
Q(2, j) = 1/2 (j-1)(j+2)
Q(3, j) = 1/3! (j-2)(j+2)(j+3)
Q(4,j) = 1/4!(j-3)(j+2)(j+3)(j+4）

然后猜了这个公式
Q(n,j) = 1/n! (j-n+1)(j+2)(j+3)...(j+n)

用归纳法证明

猜的牛逼，让我想起了读数学书的时候被 “观察可知”、“不难看出” 等招法支配的恐惧。