大家做做这个

[混元形意太极门]

可以想象成在Z_(2N-1) 里操作。每次操作都是 f(x)=2x-1.
k 次操作以后就是2^kx-2^k+1.
根据欧拉定理2^m=1(mod 2N-1) 当 m 为与 2N-1互素的个数。
得证。

是，问题实际上是，为什么不会拆成1+7+3+1这种

[FoxMe]

噢

[YWY]

Look up Faro Shuffle on Wikipedia.

赞！

[FoxMe]

可以想象成在Z_(2N-1) 里操作。每次操作都是 f(x)=2x-1.
k 次操作以后就是2^kx-2^k+1.
根据欧拉定理2^m=1(mod 2N-1) 当 m 为与 2N-1互素的个数。
得证。

2的阶数是phi(2N-1)的因子，那么最多phi(2N-1)<=2N-2次洗牌就回到初始状态。这里phi(2N-1)是{1,2,..,2N-1}中与2N-1互素的整数的个数。还是群论。

N=4, phi(7)=6
N=5, phi(9)=6
N=6, phi(11)=10
N=7, phi(13)=12

都能对得上。2N-2次比2N次稍微改进了一点。

[（ヅ）]

可以想象成在Z_(2N-1) 里操作。每次操作都是 f(x)=2x-1.
k 次操作以后就是2^kx-2^k+1.
根据欧拉定理2^m=1(mod 2N-1) 当 m 为与 2N-1互素的个数。
得证。

正确！这样可以得到一个resetting shuffle的上界2N-2

提供另外一种思路：
考虑2^1, 2^2,..., 2^{2N} mod 2N-1
必然有两个1 <= i < j <= 2N相同
2^i = 2^j mod 2N - 1
那么2^{j-i} = 1 mod 2N-1 (2^i 跟2N-1互质，所以其逆存在)

[（ヅ）]

补充一问，根据混元形意太极门的解可知2N-2次洗牌可以使得牌洗回原样，2N-2为最小resetting shuffle的上界。那么使得需要最少洗2N-2次才能还原的条件是什么(in terms of N).

请给出一个充分条件或者必要条件

[YWY]

补充一问，根据混元形意太极门的解可知2N-2次洗牌可以使得牌洗回原样，2N-2为最小resetting shuffle的上界。那么使得需要最少洗2N-2次才能还原的条件是什么(in terms of N).

请给出一个充分条件或者必要条件

这就是primitive root的问题。如果是mod 2N-1的话，因为限定在奇数范围内，有primitive root的充要条件是2N-1等于一个奇素数的方幂。所以2是primitive root mod 2N-1的必要条件是N = (p^n+1)/2 where p is an odd prime。充分条件不清楚，但很多情况下2都是primitive root mod p^n。等看大家的回答。

[YWY]

补充一问，根据混元形意太极门的解可知2N-2次洗牌可以使得牌洗回原样，2N-2为最小resetting shuffle的上界。那么使得需要最少洗2N-2次才能还原的条件是什么(in terms of N).

请给出一个充分条件或者必要条件

这就是primitive root的问题。如果是mod 2N-1的话，因为限定在奇数范围内，有primitive root的充要条件是2N-1等于一个奇素数的方幂。所以2是primitive root mod 2N-1的必要条件是N = (p^n+1)/2 where p is an odd prime。充分条件不清楚，但很多情况下2都是primitive root mod p^n。等看大家的回答。

需要最少洗2N-2次才能还原的必要条件是N = (p+1)/2 where p is an odd prime，因为2N-1必须等于一个奇素数。

[（ヅ）]

这就是primitive root的问题。如果是mod 2N-1的话，因为限定在奇数范围内，有primitive root的充要条件是2N-1等于一个奇素数的方幂。所以2是primitive root mod 2N-1的必要条件是N = (p^n+1)/2 where p is an odd prime。充分条件不清楚，但很多情况下2都是primitive root mod p^n。等看大家的回答。

有一个反例
p = 7, n = 1, N = 4, 2N-1 = 7
2不是primitive root mod 7

算了一下小于100的质数，有不少2都不是primitive root mod p

代码： 全选

2 is NOT primitive root modulo 7
2 is NOT primitive root modulo 17
2 is NOT primitive root modulo 23
2 is NOT primitive root modulo 31
2 is NOT primitive root modulo 41
2 is NOT primitive root modulo 43
2 is NOT primitive root modulo 47
2 is NOT primitive root modulo 71
2 is NOT primitive root modulo 73
2 is NOT primitive root modulo 79
2 is NOT primitive root modulo 89
2 is NOT primitive root modulo 97

[（ヅ）]

需要最少洗2N-2次才能还原的必要条件是N = (p+1)/2 where p is an odd prime，因为2N-1必须等于一个奇素数。

这个必要条件也不太对，

N = 4, p = 7就只需要shuffle 3次

[YWY]

有一个反例
p = 7, n = 1, N = 4, 2N-1 = 7
2不是primitive root mod 7

算了一下小于100的质数，有不少2都不是primitive root mod p

代码： 全选

2 is NOT primitive root modulo 7
2 is NOT primitive root modulo 17
2 is NOT primitive root modulo 23
2 is NOT primitive root modulo 31
2 is NOT primitive root modulo 41
2 is NOT primitive root modulo 43
2 is NOT primitive root modulo 47
2 is NOT primitive root modulo 71
2 is NOT primitive root modulo 73
2 is NOT primitive root modulo 79
2 is NOT primitive root modulo 89
2 is NOT primitive root modulo 97

2是primitive root mod p 的必要条件是 p = 3 or 5 mod 8。

[YWY]

这个必要条件也不太对，

N = 4, p = 7就只需要shuffle 3次

所以我说是必要条件，但不充分。

[（ヅ）]

所以我说是必要条件，但不充分。

我想想，这整糊涂了

[（ヅ）]

2是primitive root mod p 的必要条件是 p = 3 or 5 mod 8。

prm37里面有2

[YWY]

我想想，这整糊涂了

所以说，你上面举得p =7, 17, 23, 31, 41, 43等等只说明它们不充分，但不反证我说的必要条件。

同样，2是primitive root mod p 的必要条件是 p = 3 or 5 mod 8。但p = 43不是反例，只说明p = 3 or 5 mod 8不是充分条件。

[YWY]

prm37里面有2

37 = 5 mod 8，不矛盾。

[（ヅ）]

37 = 5 mod 8，不矛盾。

我有两个疑问

1. "2是primitive root mod 2N-1的必要条件是N = (p^n+1)/2 where p is an odd prime"这是正确的，但是没想通跟"requires 2N-2 shuffles to reset deck"有什么关系

对于任意N,都存在k 使得2^k = 1 mod 2N - 1

2. "需要最少洗2N-2次才能还原的必要条件是N = (p+1)/2 where p is an odd prime，因为2N-1必须等于一个奇素数。"

这个是怎么得到？

[YWY]

我有两个疑问

1. "2是primitive root mod 2N-1的必要条件是N = (p^n+1)/2 where p is an odd prime"这是正确的，但是没想通跟"requires 2N-2 shuffles to reset deck"有什么关系

对于任意N,都存在k 使得2^k = 1 mod 2N - 1
2. "需要最少洗2N-2次才能还原的必要条件是N = (p+1)/2 where p is an odd prime，因为2N-1必须等于一个奇素数。"

这个是怎么得到？

没有直接关系但又间接关系。“2是primitive root mod 2N-1”是说需要至少phi(2N-1)次（欧拉数）才能还原。注意phi(2N-1)小于等于2N-2。所以，“需要最少洗2N-2次才能还原”的充要条件是“phi(2N-1) = 2N-2而且2是primitive root mod 2N-1”。但phi(2N-1) = 2N-2当且仅当2N-1等于一个奇素数。所以“需要最少洗2N-2次才能还原”的充要条件是“2N-1是奇素数而且2是primitive root mod 2N-1”。这样，“N = (p+1)/2 where p is an odd prime”是必要条件，“2是primitive root mod 2N-1”也是必要条件。还有，通过考虑二次剩余，“2是primitive root mod p”的必要条件是“p = 3 or 5 mod 8”。所以“需要最少洗2N-2次才能还原”的必要条件是“N = (p+1)/2 where p is an odd prime and p = 3 or 5 mod 8”。

[（ヅ）]

没有直接关系但又间接关系。“2是primitive root mod 2N-1”是说需要至少phi(2N-1)次（欧拉数）才能还原。注意phi(2N-1)小于等于2N-2。所以，“需要最少洗2N-2次才能还原”的充要条件是“phi(2N-1) = 2N-2而且2是primitive root mod 2N-1”。但phi(2N-1) = 2N-2当且仅当2N-1等于一个奇素数。所以“需要最少洗2N-2次才能还原”的充要条件是“2N-1是奇素数而且2是primitive root mod 2N-1”。这样，“N = (p+1)/2 where p is an odd prime”是必要条件，“2是primitive root mod 2N-1”也是必要条件。还有，通过考虑二次剩余，“2是primitive root mod p”的必要条件是“p = 3 or 5 mod 8”。所以“需要最少洗2N-2次才能还原”的必要条件是“N = (p+1)/2 where p is an odd prime and p = 3 or 5 mod 8”。

我还是不明白“2是primitive root mod 2N-1”是说需要至少phi(2N-1)次（欧拉数）才能还原“的原因

白天再仔细想想

[YWY]

我还是不明白“2是primitive root mod 2N-1”是说需要至少phi(2N-1)次（欧拉数）才能还原“的原因

白天再仔细想想

这就是“2是primitive root mod 2N-1”的定义，就是说2至少要phi(2N-1)次幂才等于1 mod 2N-1。注意2的phi(2N-1)次幂肯定等于1 mod 2N-1（欧拉定理），这是你一楼洗牌题证明的关键。