掷骰子的几率计算题

[verdelite]

我们知道。否则这题目毫无悬念。
12对7的差别是在头两次。
12: 1/36+ 6/36*1/36
而7: 6/36*6/36

其它情况相当于重新开始。
因此概率比是 42/36
12先。

我前面解出的比率是（1/7+6/7*1/36）：1/7 = 42：36，一样的。

[CalCat]

Very Good! Wonderful work. I am trying to derive it using your methods. Thank you!

[meiyoumajia]

用消除法可以算出

P7=6/13
因此 P12 = 1-P7 = 7/13

P12/P7=42/36也得到了运算正确的验证。

[CalCat]

我前面解出的比率是（1/7+1/36）：1/7 = 42：36，一样的。

我仔细算了你的数值， 发现（1/7+1/36）/（1/7）=1.194
但是，42：36=1.167
所以， 你的数值有点问题，但是结论是正确的。你解释一下？

[verdelite]

我仔细算了你的数值， 发现（1/7+1/36）/（1/7）=1.194
但是，42：36=1.167
所以， 你的数值有点问题，但是结论是正确的。你解释一下？

修改了前面的结果，原先是43：36是错误的。修改后正确了，是42：36。

[CalCat]

答案是：
#12结束的几率是 7/13;
连着两个#7结束的几率是 6/13

[verdelite]

答案是：
#12结束的几率是 7/13;
连着两个#7结束的几率是 6/13

修改了，现在正确了。原先里面少掉一个“6/7*”，已经加上了。

[CalCat]

Thank you. Excellent!

[YWY]

学习了！原来是一直投，投到天荒地老，直到投出两种结果之一才算结束，问哪种结果出现的概率大。

[（ヅ）]

用另外一个思路试着做了一下(实际上是题目读错了)
P1(k):= P(1st time get a 12 at k-th throw) = (35/36)^{k-1}(1/36)

P2(k):= P(1st time get two consecutive 7s at k-th throw) = (1/36)^2f(k-2) = (1/36)^2 (f(3) + \frac{1 - (-{1\over36})^{k-4}}{1 - (-{1\over36})}(f(3) - f(2)))
f(k) 定义为P(k-th throw is not 7, there is no consecutive 7s from 1st to k-th throw)

f(2)= 35/36， f(3)= 35/36(35/36 + 1/36 * 35/36)

在任意N>= 4，P1(k) > P2(k) , P1(k) - P2(k)如下

[CalCat]

我把题目更加准确的描述一下:

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到下面的两种情况之一发生：
1. 两次点数是7 的结果接连发生;
2. 一次点数是12的结果发生。
请问，那种情况最可能先发生？

[meiyoumajia]

这题的实质是：
在最多两轮后，在第一轮或第二轮还没有出结果的情况与原始问题是一样的。

相当于在第一轮和第二轮那些出现结果的情况是准确的“抽查”
7跟7出现的概率是 6/36*6/36
而所在的抽查的概率部分（如前述：那也就是出了结果的概率部分）是：1/36 + 6/36* （1/36+ 6/36）

P7也就是两者之比
6*6/（36+6*（1+6））=6/（6+7） = 6/13

类似的（若干步内可以退化为原本）很特殊的问题都可以这样被类似地解决。

[FoxMe]

尼玛如果是这种考试题，大部分人都不及格。

[CalCat]

这题的实质是：
在最多两轮后，在第一轮或第二轮还没有出结果的情况与原始问题是一样的。

相当于在第一轮和第二轮那些出现结果的情况是准确的“抽查”
7跟7出现的概率是 6/36*6/36
而所在的抽查的概率部分（如前述：那也就是出了结果的概率部分）是：1/36 + 6/36* （1/36+ 6/36）

P7也就是两者之比
6*6/（36+6*（1+6））=6/（6+7） = 6/13

类似的（若干步内可以退化为原本）很特殊的问题都可以这样被类似地解决。

首先感谢帮助。同时，我把原来的问题捎作改动，你看怎么解决。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到两次点数是7 的结果接连发生。请问，
1. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？
2. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生，但是不让点数是12 的结果在此之前发生？

[meiyoumajia]

首先感谢帮助。同时，我把原来的问题捎作改动，你看怎么解决。感谢在先。

同时投掷两个6面体的骰子，记录它们的结果总和点数，每次可能得到如下的点数：2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 ， 11， 12。 一直投掷，直到两次点数是7 的结果接连发生。请问，
1. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生？
2. 平均来说，需要投掷多少次使得这个结果发生，但是不让点数是12 的结果在此之前发生？

the two parts can be solved similarly

1.
the following are possibilities of the first appearances of 1 1(1 meaning a two-dice-number-sum of 7, 0 otherwise) which ends the tossing
1 1: p2=6/36*6/36 = 1/36

0 1 1: p3= 1/36* 30/36 = 5/216. if we look backward

a 0 1 1: p4 = 5/216. The same as the previous case, if we look backward

0 a 0 1 1: p5_1 = 5/216* 5/6 (looking backward)
1 0 0 1 1 : p5_2 = 5/216* 5/6 * 1/6
p5 = p5_1 + p5_2

...

the weighted sum 2*p2+ 3*p3 + k*pk + ... is the answer to the part

[meiyoumajia]

for the part 2, use 2 for 12, still use 1 for 7, and 0 for the others
a for any
b for not 2

1 1

0 1 1: p3 = 1/36* 29/36 *

0 0 1 1

0 b 0 1 1: p5_1 = 1/36* 29/36* 35/36 *29/36
1 0 0 1 1

...

[CalCat]

上面的这个办法好像行不通，因为这个变成了无穷数列的求和问题。 我想，应该可以用类推的方法 recursive method， 就像你第一次提供的办法。
假如投掷n-1次都没有出现结果，我们再投掷第n次的时候，结果发生了，解个方程看能不能得到结果？

[meiyoumajia]

上面的这个办法好像行不通，因为这个变成了无穷数列的求和问题。 我想，应该可以用类推的方法 recursive method， 就像你第一次提供的办法。
假如投掷n-1次都没有出现结果，我们再投掷第n次的时候，结果发生了，解个方程看能不能得到结果？

因为这次要得到那个weighted sum，所以是没有先前那种极特殊“重复”/“可准确‘抽样’”性质。

[meiyoumajia]

是发散的

原因是：不管你投多少次，总不能100%确定它出现，k*pk会随着k增大。

[CalCat]

是发散的

原因是：不管你投多少次，总不能100%确定它出现，k*pk会随着k增大。

不可能是发散的。我估计第一种的平均次数是36， 第二次的平均次数是42.