新未名空间

verdelite 写了： 2023年 2月 11日 08:57 48是一个奇妙的数字：48+1是一个平方数；48/2+1也是一个平方数。

问：有这个性质的数还有吗？如果没有了，证明之。如果还有，再找三个。如果是无穷的，你能证明吗？

This property of 48 does not make it that special. There are infinitely many such integers, all from the units of Z[\sqrt{2}] of norm -1. a=\sqrt{2}+1 is the fundamental unit of Z[\sqrt{2}], so all units are given by \pm (\sqrt{2}+1)^n, n\in Z. Integers having a similar property to 48 are given by (\sqrt{2}+1)^n, n=1, 3, 5, ... (all odd positive integers). For example, (\sqrt{2}+1)^5=29\sqrt{2}+41, and the number of interest to you in this case is 41^2-1=1680. Note that 1680+1=41^2, 1680/2+1=841=29^2.

san721 写了： 2023年 2月 11日 23:55 This property of 48 does not make it that special. There are infinitely many such integers, all from the units of Z[\sqrt{2}] of norm -1. a=\sqrt{2}+1 is the fundamental unit of Z[\sqrt{2}], so all units are given by \pm (\sqrt{2}+1)^n, n\in Z. Integers having a similar property to 48 are given by (\sqrt{2}+1)^n, n=1, 3, 5, ... (all odd positive integers). For example, (\sqrt{2}+1)^5=29\sqrt{2}+41, and the number of interest to you in this case is 41^2-1=1680. Note that 1680+1=41^2, 1680/2+1=841=29^2.

Z[*]是个啥函数？

verdelite 写了： 2023年 2月 11日 23:59 Z[*]是个啥函数？

环

YWY 写了： 2023年 2月 12日 00:03环

那你评论一下san721回答呗。看着像个高手。弄到群环域我就搞不定了。

verdelite 写了： 2023年 2月 12日 00:05 那你评论一下san721回答呗。看着像个高手。弄到群环域我就搞不定了。

通过环Z[\sqrt 2]的可逆元构成的群的结构来阐述一楼的问题以及上面几楼得出的证明结果，我不明觉厉。

verdelite 写了： 2023年 2月 12日 00:05 那你评论一下san721回答呗。看着像个高手。弄到群环域我就搞不定了。

没有任何高深的地方。实二次域的单位群是一个rank one的自由Abel群，每个单位都是a^n或-a^n.这里a是基本单位(即大于1的单位中最小的).

reknaz 写了： 2023年 2月 11日 09:21 这有什么奇妙的，可以找很多类似这样的 rule，然后数字大多数就奇妙了。比如 6 就是一个奇妙的数字，它 ±1 都是质数，问有这样性质的数是无穷多吗？

随便来一个 12？

reknaz 写了： 2023年 2月 11日 09:39 为啥说举反了？都是一样类型的嘛。
好吧，3 也是个奇妙的数 +1 是个平方数，—1是个质数，有无穷多这样的数吗？

还随便来一个 8？
其实任何数字都是神奇的， 比如说9 和任何数的相乘之后的结果各位只和（到一位），一定是9 - 这个可以玩很多游戏

verdelite 写了： 2023年 2月 12日 00:05 那你评论一下san721回答呗。看着像个高手。弄到群环域我就搞不定了。

高手。我见过几次。

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meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 11:49 没看懂你的“就可以”

对+/·1情况，首先要知道a+b的可能值，然后必须是那种形式，最后还应该知道m的奇偶区别吧？

-1情况：
a+b = 1+1
然后是5+7

这里a和b都是非负整数。用a+b作为a+b\sqrt 2的模，然后用归纳法。不是很清楚吗？

猜想/问题总会很多，方法/办法永远只能跟，确实解不完啊。
但是猜想中确实有些令有些人陶醉的，因此我们总会才度过某些不能自已的时光。loool

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meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 12:05 可能你没看懂我的意思？

没看懂你的“就可以”

对y^2-2x^2=+/·1情况，首先要知道a+b的可能值，然后必须是那种形式，最后还应该知道m的奇偶区别吧？

-1情况：
a+b = 1+1
然后是5+7

你的归纳是对a+b，从不存在的a+b=1开始
能具体推出
到(a,b) = (1,1)，也就是a+b=2，再到（5，7）吗？

我没有用“就可以”三个字。
a+b=1就是a=1和b=0的情况。
由此推出(a,b) = (1,1)，也就是a+b=2，再到（5，7）完全没有问题。
当然，你把(a,b) = (1,1)作为基础情况也可以。

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meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 12:23 你原来是有”就可以“的。而我那前两句是昨天写的。

（1，0）不是解，而（1，1）是，然后（5，7），你认为完全没有问题，但我真看不出能推出那这两个。

我们现在要证明：
为什么从（1，1）按那种方式推出了所有解，也就是你要证明的没有任何其它解。

你开始从非解（1，0），对a+b归纳，那不该是到a+b=1，2，3，4，5，6，7？

(5,7)可以降为（3,2）然后（1,1）再到（1,0）

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meiyoumajia 写了： 2023年 2月 12日 12:23 你原来是有”就可以“的。而我那前两句是昨天写的。

（1，0）不是解，而（1，1）是，然后（5，7），你认为完全没有问题，但我真看不出能推出那这两个。

我们现在要证明：
为什么从（1，1）按那种方式推出了所有解，也就是你要证明的没有任何其它解。

你开始从非解（1，0），对a+b归纳，那不该是到a+b=1，2，3，4，5，6，7？

FGH考虑的是b^2-2a^2等于正负1的情况，所以（1，0）是解。非要只考虑b^2 - 2a^2 = -1的情况，那就在做归纳时除以3 + 2 \sqrt 2 = (1 + \sqrt 2)^2，相当于直接跳两部，只考虑1 + \sqrt 2的奇数次幂。换个说法，亏纳法一开始就是直接验证，通过了就行，不必太纠结。