雕刻家的立方体墩子问题。你们平方的都会弄了，这次来个立方的。

[yilou]

我不是说你这个方法不好，只是纯好奇，你这样需要推多少行
能得到最后完整的结果。能否请展示一下？因为最后的结果很简单，所以你这个直线相交求解的思路一定是在某一步有个trick的。我对这个很好奇。虽然这个方法繁琐，但是一定有某个闪光点在里面。

前面提到的利用UFD Z[ω]的Norm对称性得到通解的方法是可以一行就得到最终结果的。所以三姐夫说他是大脑里简单推导一下，就直接写下来结果的。

这个是二次方程，还可以这样解：
原方程除以(a+b)之后变成：
a²-ab+b²=1
观察得到一个整数解(1,1)。

然后过该点做斜率为有理数的直线，该直线与曲线的另一交点也是一个有理解。而且任意有理解都可以这样得到。那么设这个斜率m=p/q，两个整数相除。把另一个交点的坐标用p和q表示出来。这也是通解。结果应该和你的一样。

[TheMatrix]

我不是说你这个方法不好，只是纯好奇，你这样需要推多少行
能得到最后完整的结果。能否请展示一下？因为最后的结果很简单，所以你这个直线相交求解的思路一定是在某一步有个trick的。我对这个很好奇。虽然这个方法繁琐，但是一定有某个闪光点在里面。

前面提到的利用UFD Z[ω]的Norm对称性得到通解的方法是可以一行就得到最终结果的。所以三姐夫说他是大脑里简单推导一下，就直接写下来结果的。

求直线交点是有一个技巧，不用的话会比较繁琐：

a²-ab+b²=1
已知(a₀,b₀)=(1,1)是一个解，那么：
a₀²-a₀b₀+b₀²=1

两式相减，并令m=(b-b₀)/(a-a₀)为直线斜率：
(a+a₀)-(ma+b₀)+m(b+b₀) = 0

再和直线方程联立：
b-b₀ = m(a-a₀)

解一个线性方程组，就得到这个有理点，是以m，或者m=p/q表达的。

[yilou]

不错， 虽然离最终的结果还是有相当的距离，但是确实有闪光点。有它存在的价值。

求直线交点是有一个技巧，不用的话会比较繁琐：

a²-ab+b²=1
已知(a₀,b₀)=(1,1)是一个解，那么：
a₀²-a₀b₀+b₀²=1

两式相减，并令m=(b-b₀)/(a-a₀)为直线斜率：
(a+a₀)-(ma+b₀)+m(b+b₀) = 0

再和直线方程联立：
b-b₀ = m(a-a₀)

解一个线性方程组，就得到这个有理点，是以m，或者m=p/q表达的。

[FoxMe]

我不是说你这个方法不好，只是纯好奇，你这样需要推多少行
能得到最后完整的结果。能否请展示一下？因为最后的结果很简单，所以你这个直线相交求解的思路一定是在某一步有个trick的。我对这个很好奇。虽然这个方法繁琐，但是一定有某个闪光点在里面。

前面提到的利用UFD Z[ω]的Norm对称性得到通解的方法是可以一行就得到最终结果的。所以三姐夫说他是大脑里简单推导一下，就直接写下来结果的。

这两种不同的方法，一种是代数方法，一种是几何方法，相得益彰。

代数方法看似简单，其实隐藏了很多步骤。为啥它的环是Z[ω]？推导出来要一页纸。

几何方法比较直接，感觉是代数几何的精髓，可用于椭圆曲线等。估计代数方法不行了。

感觉两种方法存在对应关系，本质上用了群论的性质，但是我没看出来具体是什么关系。

[萧武达]

国王请雕刻家提供两个雕像的墩子，一大一小，都是立方体的。

到了交钱的时候，大家发现忘了说大小是边长还是体积。合同里面说把两个墩子的大小相加，按照那个数字给钱。那么是加边长，还是加体积呢？

后来一测量，发现不需要争吵了。因为，加边长和加体积，结果是一样的（当然了，当地人测量有一个固定的单位。单位b变一下结果会变化，当然了。这题假定单位是固定的，转变为一个纯数字问题。不是物理题啊，在物理里面，边长是不可以等于体积的）。就是，a+b=a^3+b^3

问：找到最小有理数解？所有有理数解？

不严谨的问题，单边边长还是边长只和呢？
单一边长，则 1+1=1^n+1^n成了，边长=度量单位