阿贝尔簇(Abelian Variety)

[TheMatrix]

"上半复平面quotient by modular group给出了所有椭圆曲线, up to isomorphism."

上半复平面quotient by modular group，也有一个专门名词，叫modular curve，这是moduli space的一个例子。

但是modular curve为啥也是曲线（有时是椭圆曲线），实在令人费解。

这个quotient space，Γ\H，局部也是复平面，实二维。我觉得代数几何里是不是把这种点集都叫做“曲线”了？modular curve好像并不是一个方程给出的点集。我看到有modular equation的说法，但是好像并不是解集的关系。

[TheMatrix]

有人把{az+b, cz+d}到{(az+b)/(cz+d), 1}解释为projective，这和椭圆曲线是projective curve有啥关系吗？

这个我觉得就是一个旋转和缩放。格点的旋转和缩放对形成的椭圆函数应该是一个线性的影响，得到的椭圆曲线也是同构的。

另外，椭圆曲线的同构，不仅指拓扑同构，还要求代数上的同构吧？比如点作为群元素的order。

[FoxMe]

椭圆曲线的同构，可以定义为群同构。

[TheMatrix]

椭圆曲线的同构，可以定义为群同构。

嗯对。群同构已经包含了拓扑同构 - 在复变的情况下 - 应该是各种情况下。

[forecasting]

都是高手，学过Abelian簇，还学过算术几何。

[TheMatrix]

假如P(u)和P(v)来参数化两点U和V，第三点W=U+V的参数恰好是P(u+v)。

这个有reference吗？wiki上有吗？

假设
U = (x,y) = (P(u),P'(u))
V = (x,y) = (P(v),P'(v))
W = (x,y) = (P(u+v),P'(u+v))
这里P是Weierstrass P函数，根据P函数的性质
P'² = 4P³-g₂P-g₃
那么U,V,W自动在椭圆曲线
y²=4x³-g₂x-g₃
上。

要证明U,V,W满足椭圆曲线上的群加法W=U+V，只需证明U,V,W三点共线。

[FoxMe]

要用到P(u+v)这个公式（不知道怎么推出来的）

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstra ... n_theorems

刚好和用几何作图得到的第三个点W的坐标相同

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_ ... rpretation

[TheMatrix]

要用到P(u+v)这个公式（不知道怎么推出来的）

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstra ... n_theorems

刚好和用几何作图得到的第三个点W的坐标相同

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_ ... rpretation

不错。这个P函数加法公式的确可以推出椭圆曲线上的三点共线。

这个P函数的加法公式，应该还是着落在P函数的级数表达上。

[TheMatrix]

不错。这个P函数加法公式的确可以推出椭圆曲线上的三点共线。

这个P函数的加法公式，应该还是着落在P函数的级数表达上。

这个小东西我本来以为可以通过对级数项的tracking得到，但是得不出来。找到了一个证明。再一看，wiki上也是这么写的。看来不是tracking排列组合能得到的，必须通过复变函数的性质。

当年的人把复变函数的性质玩透了。我记得我高中的时候，圆锥曲线求交点，不用算，一看就知道结果 - 忘了是不是这么个问题了，总之就是当年玩得太熟了。

[san721]

代数几何与数论结合起来，就更有意思了，叫算术几何。数论中的很多问题，比如多项式方程的有理解，需要算术几何。

比如椭圆曲线上的有理点组成一个群，叫Mordell-Weil群。Mordell-Weil定理说这个群是有限生成的，那么它的秩是多少？现在还没有解决，只有一个猜想：BSD猜想，它说Mordell-Weil群的秩等于椭圆曲线的L函数在s=1处的零点的阶。典型的解析数论。

BSD猜想是七个千禧数学猜想之一。中国人应该往这个方向努力，争取证明它。BSD猜想应该是最有可能下一个被证明的千禧猜想，以为费马大定理的这么已经做了很多铺垫，比如椭圆曲线与modular form的联系。

While BSD conjecture gives a very accurate relation between certain important quantities related to an elliptic curve, the most important information it contains is probably what you mentioned, rank of the Mordell-Weil group of E (the so-called algebraic rank) = order of vanishing of the L(s, E) at s=1 (analytic rank). Even though this not fully solved yet, we have known that the two ranks are equal when the analytic rank is 0 or 1. This is already very useful. While it is believed that the rank of E/Q can be arbitrarily large, it is also conjectured that, if all elliptic curves over Q are categorized in a reasonable way, then (asymptotically) half of them have rank 0 and half of them have rank 1. In particular, Goldfeld (in 1979?) had such a conjecture for the quadratic twists of any given E/Q. A folklore "Density Conjecture" followed from Goldfeld's conjecture states that, for any give E/Q, a positive proportion of the quadratic twists of E/Q have rank 0, and another positive proportion have rank 1. So if you can show that a positive proportion of the quadratic twists have ANALYTIC rank 0 (or 1), then you have the Density Conjecture for the curve. In late 1990's, Ono and Skinner, James, and another Indian guy (I forgot the name) adopted this approach.

[TheMatrix]

While BSD conjecture gives a very accurate relation between certain important quantities related to an elliptic curve, the most important information it contains is probably what you mentioned, rank of the Mordell-Weil group of E (the so-called algebraic rank) = order of vanishing of the L(s, E) at s=1 (analytic rank). Even though this not fully solved yet, we have known that the two ranks are equal when the analytic rank is 0 or 1. This is already very useful. While it is believed that the rank of E/Q can be arbitrarily large, it is also conjectured that, if all elliptic curves over Q are categorized in a reasonable way, then (asymptotically) half of them have rank 0 and half of them have rank 1. In particular, Goldfeld (in 1979?) had such a conjecture for the quadratic twists of any given E/Q. A folklore "Density Conjecture" followed from Goldfeld's conjecture states that, for any give E/Q, a positive proportion of the quadratic twists of E/Q have rank 0, and another positive proportion have rank 1. So if you can show that a positive proportion of the quadratic twists have ANALYTIC rank 0 (or 1), then you have the Density Conjecture for the curve. In late 1990's, Ono and Skinner, James, and another Indian guy (I forgot the name) adopted this approach.

L(s, E) at s=1 是 zero 还是 pole？

[san721]

L(s, E) at s=1 是 zero 还是 pole？

Zero. For an elliptic curve E/Q, its L-function is an entire function and thus has no poles.

[TheMatrix]

Zero. For an elliptic curve E/Q, its L-function is an entire function and thus has no poles.

嗯。L-function只有在特殊情况下，在s=1点才是pole，不是pole的情况应该是大多数情况。

[TheMatrix]

代数几何与数论结合起来，就更有意思了，叫算术几何。数论中的很多问题，比如多项式方程的有理解，需要算术几何。

比如椭圆曲线上的有理点组成一个群，叫Mordell-Weil群。Mordell-Weil定理说这个群是有限生成的，那么它的秩是多少？现在还没有解决，只有一个猜想：BSD猜想，它说Mordell-Weil群的秩等于椭圆曲线的L函数在s=1处的零点的阶。典型的解析数论。

BSD猜想是七个千禧数学猜想之一。中国人应该往这个方向努力，争取证明它。BSD猜想应该是最有可能下一个被证明的千禧猜想，以为费马大定理的这么已经做了很多铺垫，比如椭圆曲线与modular form的联系。

这个L-function确实很厉害。相当于把椭圆曲线的信息组织到了一起，而组织的是否恰当，就看这个函数有没有什么优美的特征。BSD猜想就说明它的确有很优美的特征。

[FoxMe]

不知道wiki上这句话具体是什么意思。

通过P(z)级数展开也行，得到P^3(z)和P'(Z)的级数后，截止到常数项进行比较。因为包含z, z^2, ...的项是一个完纯函数，所以根据刘维尔定理等于0.

复变函数是门学问，对于解析数论非常有用。但是一般都没教椭圆函数，伽马函数等数论中常用的函数。

圆锥曲线是我中学的噩梦，不知道当时为啥不懂。

这个小东西我本来以为可以通过对级数项的tracking得到，但是得不出来。找到了一个证明。再一看，wiki上也是这么写的。看来不是tracking排列组合能得到的，必须通过复变函数的性质。

当年的人把复变函数的性质玩透了。我记得我高中的时候，圆锥曲线求交点，不用算，一看就知道结果 - 忘了是不是这么个问题了，总之就是当年玩得太熟了。

[FoxMe]

再往前一步，就是Langlands program。

这个L-function确实很厉害。相当于把椭圆曲线的信息组织到了一起，而组织的是否恰当，就看这个函数有没有什么优美的特征。BSD猜想就说明它的确有很优美的特征。

[TheMatrix]

再往前一步，就是Langlands program。

你能不能介绍一下Langlands program?

[FoxMe]

我不是专家，我的感觉是Langlands program就是现代的解析数论。陈锦润时代的解析数论，学了初等数论和复变函数，就可以开始研究了。研究Langlands program，要把纯数学方向的全部课都学了才行。

BSD猜想的研究对象是有理数域Q上的椭圆曲线。这里的L函数已经非常厉害了，除了BSD，还有费马大定理的证明用到：Q上的椭圆曲线的L函数对应于一个modular form。这个对应关系是不可思议的，因为一边是数论，一边是复变函数。

那么至少有两个方向可以推广：从有理数域Q到代数数域，从椭圆曲线到代数簇，它们的L函数也（猜想）对应于类似于modular form，叫automorphic form。这些猜想大部分都还没有被证明。

总之，Langlands program相当于一座桥梁，把数学的各个分支（数论，代数，几何，分析）联系起来了。相当于数学中的统一场论。

[TheMatrix]

我不是专家，我的感觉是Langlands program就是现代的解析数论。陈锦润时代的解析数论，学了初等数论和复变函数，就可以开始研究了。研究Langlands program，要把纯数学方向的全部课都学了才行。

BSD猜想的研究对象是有理数域Q上的椭圆曲线。这里的L函数已经非常厉害了，除了BSD，还有费马大定理的证明用到：Q上的椭圆曲线的L函数对应于一个modular form。这个对应关系是不可思议的，因为一边是数论，一边是复变函数。

那么至少有两个方向可以推广：从有理数域Q到代数数域，从椭圆曲线到代数簇，它们的L函数也（猜想）对应于类似于modular form，叫automorphic form。这些猜想大部分都还没有被证明。

总之，Langlands program相当于一座桥梁，把数学的各个分支（数论，代数，几何，分析）联系起来了。相当于数学中的统一场论。

这里确实很丰富，互相之间的关系太多了。好多关系我没搞清楚：
椭圆曲线
椭圆函数
modular form
modular function
modular group
modular curve
L-function
Galois representation

[FoxMe]

我也是在学。L函数是关键，有很多种。比如伽罗瓦数域的L函数怎么定义？

https://en.wikipedia.org/wiki/Artin_L-f ... Definition

如果伽罗瓦群可换，那么伽罗瓦群有一维表示，乘起来就行了；
如果伽罗瓦群不可换，那么就要用到伽罗瓦群的表示理论。