复变函数为什么跟实变函数完全不同

[FoxMe]

向量的认识是
[x]
[y]
但是复数z=x+iy的矩阵表示
[x -y]
[ y x ]
才充分反映了复变函数。

我记得我在未接触代数之前，说复数不过是两个实数而已。有这个认识其实也不错了。这代表了向量的认识。

[TheMatrix]

这个怎么理解呢？三维空间复数怎么弄?超越数呢？
用矢量理解复平面，复空间，是合理的

用矢量理解复数是合理的，但是还不完整。

[TheMatrix]

向量的认识是
[x]
[y]
但是复数z=x+iy的矩阵表示
[x -y]
[ y x ]
才充分反映了复变函数。

属实。这里出现表示论了。

[FoxMe]

非常正常。数学，第一遍经常是似懂非懂，知其然不知其所以然。要多学几遍才行。

为了推开裂混凝土应力场，自学了复变函数的飘过。然而，我并没有像诸位一样深入领悟。依旧赞。
缅怀下爱学习的青春岁月。

[rgg]

我过去读杨振宁文集，记得他谈到复数，四元数，说虽然大家都在用， 这里面的直觉他觉得还没有被充分理解。

[TheMatrix]

弹性力学没啥，本科生难一点儿，是因为没入门儿。研究生之后学习有限元和高等结构力学之后，知识点联通了就明白了。

话说弃婴到底是谁？我一直以为其是那个跳楼的斯坦福教授。他不是学物理的吗？怎么跟四大力学扯上了？

弃婴，现在叫“弃婴千枝”。主要在军版活动。我最近去军版比较少，没怎么见到他了。

他是学物理的。物理的四大力学啊：理论力学，电动力学，热力学，量子力学。

[FoxMe]

弃婴似最近有恙，可能是弃婴上网较少的原因。大家祝弃婴早日康复吧。

[FoxMe]

超复数没有三维，有四维quaternion，也有八维...

代数数可以看作Q上的向量空间，超越数不行。但这些都不是超复数。

这个怎么理解呢？三维空间复数怎么弄?超越数呢？
用矢量理解复平面，复空间，是合理的

[TheMatrix]

弹性力学没啥，本科生难一点儿，是因为没入门儿。研究生之后学习有限元和高等结构力学之后，知识点联通了就明白了。

有道理。“知识点联通了就明白了”，这对数学也是成立的。

他说的也可能是“塑性力学”。

[杨和柳]

弃婴，现在叫“弃婴千枝”。主要在军版活动。我最近去军版比较少，没怎么见到他了。

他是学物理的。物理的四大力学啊：理论力学，电动力学，热力学，量子力学。

嗨，瞧瞧我这么无知。我以为四大力学是我们工程的理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学呢。我不配进这个帖子。

[TheMatrix]

嗨，瞧瞧我这么无知。我以为四大力学是我们工程的理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学呢。我不配进这个帖子。

呵呵。我也无知啊。我不知道工程也有四大力学。

[萧武达]

超复数没有三维，有四维quaternion，也有八维...

代数数可以看作Q上的向量空间，超越数不行。但这些都不是超复数。

应该是我把Dual quaternion和Biquaternion的i^2=j^2=k^2=ijk=-1和t=w+xi+yj+zk ij=ji=k,i^2=-1 j^2=+1给混淆
也把超复数（Hypercomplex number）和超越数（transcendental number）记错了 抱歉
民科爱好就是不靠谱

[randomatrices]

确实，我也觉得复变函数的精华是解析延拓。
解析延拓仿似“有物浑然天成，天然去雕琢，妙手偶得之。不增不减，此物唯一”。不似实变函数可以人工裁剪粘贴，如 y = exp(-1/x) when x > 0, y = 0, when x <= 0, 虽然在整个实数轴上无穷可微但它就不是一个天然的复平面上的解析函数， 人工斧凿总归不能胜天工。

解析延拓虽然绝大多数教课书上都是以 power series 的一个一个小收敛圆去逐渐开拓，但实际上的被研究的著名函数很少有这样被拓展的， 如黎曼 zeta 函数， 原因之一当然是因为zeta函数初定义是dirichlet series, 而dirichlet series的收敛域是部分半平面不是收敛圆。黎曼在18xx是怎么想到从复变函数去研究dirichlet series的？实在让人惊叹。

你们讨论的是不是解析延拓？我觉得复变函数最神的是解析延拓。解析数论为啥用复变函数？解析延拓是重要原因。代数几何里的sheaf基本上就是解析延拓。

一维情况解析和holomorphic是等价的。

实解析，如果我没记错的话，一个收敛点列就决定了该函数(一维情况，对复解析应该也成立)。

[laodongzhe18]

复变函数是以复数为变量的函数，实变函数是以函数为变量的函数。

[FoxMe]

尼玛老将的水平令人叹为观止。

还有大家拿，007，残广东等几位老将，也差不多。

复变函数是以复数为变量的函数，实变函数是以函数为变量的函数。

[FoxMe]

向量不能相乘，但是复数是可以相乘的。即复数不仅是R上的向量空间，还是R-algebra。

为啥有柯西-黎曼方程？如果把复变函数f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)看成两个实变函数，有雅可比（这里d是偏微分）
[du/dx du/dy]
[dv/dx dv/dy]
但是如果用复数表示，就是导数f '(z)，即f '(z)这个复数就对应于上面的矩阵。复数a+ib的矩阵表示
[a -b]
[ b a ]
迫使
du/dx=dv/dy, dv/dx=-du/dy
本质上是乘法下的表示论。

属实。这里出现表示论了。

[TheMatrix]

向量不能相乘，但是复数是可以相乘的。即复数不仅是R上的向量空间，还是R-algebra。

为啥有柯西-黎曼方程？如果把复变函数f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)看成两个实变函数，有雅可比（这里d是偏微分）
[du/dx du/dy]
[dv/dx dv/dy]
但是如果用复数表示，就是导数f '(z)，即f '(z)这个复数就对应于上面的矩阵。复数a+ib的矩阵表示
[a -b]
[ b a ]
迫使
du/dx=dv/dy, dv/dx=-du/dy
本质上是乘法下的表示论。

嗯。首先是把复数看成是两个实数，也就是一个实数向量。这已经不错了。

再进一步要把复数看成是这个实数向量上的“作用”，也就是表示。“作用”是可以相乘的，这就表示了复数的乘法。

但是第二步很难自己开悟。

[FoxMe]

我不记得当初老师是怎么引入柯西-黎曼方程的，应该只是砸出来，没讲为啥。

[TheMatrix]

我不记得当初老师是怎么引入柯西-黎曼方程的，应该只是砸出来，没讲为啥。

应该是这样引入的：
z=x+iy
先从x方向变化，得到df/dz=du/dx+i dv/dx，
再从y方向变化，得到df/dz=-i du/dy+dv/dy，
两个方向导数要相等，得到柯西-黎曼条件。

我刚推了一下。:)

[FoxMe]

哦，是这样的。但这是必要条件，充分条件不明显。