拉格朗日和哈密尔顿力学的本质

[xexz]

嗯。谢谢。

你水平这么高，应该自己写一个，要求一个小时能读完的。

我有点得寸进尺了吧？

三秒版：

最小作用量原理，短程线，最速降线。

[xexz]

本质是展示系统的内在对称性。其他都是浮云。

同意。

[hci]

对称性也是为了減少描述所需的信息量。所以本质是系统的简单性。

虚拟现实为了运行省电。哈哈。

本质是展示系统的内在对称性。其他都是浮云。

[mywmkj]

我来试着写个三分钟的：
首先是个纯数学事实：（a) 假如你有一个式子L依赖于一个函数f，这个函数的一阶导f'，和这个函数的自变量x，f的边界值固定已知，那么如果要求 L对x在边界内积分取得极值的话， L对f和f'的偏微分必须满足一个方程。 叫做欧拉拉格朗日方程。

(b) 现在加上物理， 如果f是物体的时空轨迹，自变量x是时间， 如果L取到特殊的形式（给个名字拉格朗日量）， 那么给L对时间的积分也取个名字叫做作用量S，那么物理学家相信S对真实的物理轨迹取到最小值。 这个信念加上适当选取L， 带入前面的欧拉拉格朗日方程，可以发现和牛顿力学兼容。这就是拉格朗日力学了。

(c) 再到哈密顿力学， 上面的L自变量是f, f', t, 对L做勒让德变换，H( dL/df', f,t) = T(L)叫做哈密顿量,欧拉拉格朗日方程改写为H的一阶偏微分方程就是哈密顿方程。

我学的久了也忘了，现在理解这三部分只有b是物理。(c)作为一个纯数学变换似乎说明哈密顿力学只是一个便捷形式，不是独立的力学原理，背后还是最小做用量的假设。

再补充一句， 我粗浅的理解是拉格朗日力学(b)是不能由牛顿力学推出的，只能说两者相容。它的假设比牛顿力学更大胆，范围更广。 相对论（对t积分换成对固有时积分），量子力学（路径积分）统统适用。

我觉得拉格朗日力学比牛顿力学更一般，所以可以再在上面加个函数的定义，就可以推出出牛顿力学，这纯粹是个数学问题。

[弃婴千枝]

当你站在更高的高度，就能抛弃各种琐碎的细节，看到物理（或是说数学）的全貌

牛顿力学是以力为观测点，这也正常，因为牛顿时代能直觉认识的也只有力了

后来才认识到相空间中的能量曲面个也包含物体运动的一切信息(拉氏哈氏）

由于能量曲面（或者说能量流形）永远是个凸曲面，这样我们才能用legendre变换更换等效坐标

记住，凡是能用legendre变换的，必定是凸函数（学数学的可以找本凸分析看看）

所以很久前我说过，这物理世界，本质上就是个凸函数

好了，什么是拉氏哈氏？区别联系是什么？其实很简单

拉氏是定义在能量曲面（流形）切面（tangent）上的矢量丛（vector bundle）

哈氏是定义在能量曲面（流形）余切面（cotangent）上的矢量丛（vector bundle）

两者通过legendre变换联系起来。

在切面或者余切面上可以定义lie algebra，这样vector bundle才有了动力学

[TheMatrix]

我来试着写个三分钟的：
首先是个纯数学事实：（a) 假如你有一个式子L依赖于一个函数f，这个函数的一阶导f'，和这个函数的自变量x，f的边界值固定已知，那么如果要求 L对x在边界内积分取得极值的话， L对f和f'的偏微分必须满足一个方程。 叫做欧拉拉格朗日方程。

(b) 现在加上物理， 如果f是物体的时空轨迹，自变量x是时间， 如果L取到特殊的形式（给个名字拉格朗日量）， 那么给L对时间的积分也取个名字叫做作用量S，那么物理学家相信S对真实的物理轨迹取到最小值。 这个信念加上适当选取L， 带入前面的欧拉拉格朗日方程，可以发现和牛顿力学兼容。这就是拉格朗日力学了。

(c) 再到哈密顿力学， 上面的L自变量是f, f', t, 对L做勒让德变换，H( dL/df', f,t) = T(L)叫做哈密顿量,欧拉拉格朗日方程改写为H的一阶偏微分方程就是哈密顿方程。

我学的久了也忘了，现在理解这三部分只有b是物理。(c)作为一个纯数学变换似乎说明哈密顿力学只是一个便捷形式，不是独立的力学原理，背后还是最小做用量的假设。

再补充一句， 我粗浅的理解是拉格朗日力学(b)是不能由牛顿力学推出的，只能说两者相容。它的假设比牛顿力学更大胆，范围更广。 相对论（对t积分换成对固有时积分），量子力学（路径积分）统统适用。

很好！

三分钟有三分钟的写法，
三十分钟有三十分钟的写法，
三个小时有三个小时的写法，
都能让读者get the most out of it。

你这个可以说是严谨了。只能补充，不能改正！

[TheMatrix]

本质是展示系统的内在对称性。其他都是浮云。

你这是另一个角度。我觉得还在第二位置。

[bullogger]

我来试着写个三分钟的：

(b) 现在加上物理， 如果f是物体的时空轨迹，自变量x是时间， 如果L取到特殊的形式（给个名字拉格朗日量）， 那么给L对时间的积分也取个名字叫做作用量S，那么物理学家相信S对真实的物理轨迹取到最小值。 这个信念加上适当选取L， 带入前面的欧拉拉格朗日方程，可以发现和牛顿力学兼容。这就是拉格朗日力学了。

再补充一句， 我粗浅的理解是拉格朗日力学(b)是不能由牛顿力学推出的，只能说两者相容。它的假设比牛顿力学更大胆，范围更广。 相对论（对t积分换成对固有时积分），

我很喜欢这个逻辑，能详细说说b吗？我没太看懂

如果L取到特殊的形式（给个名字拉格朗日量）， 那么给L对时间的积分也取个名字叫做作用量S，那么物理学家相信S对真实的物理轨迹取到最小值。

[TheMatrix]

当你站在更高的高度，就能抛弃各种琐碎的细节，看到物理（或是说数学）的全貌

牛顿力学是以力为观测点，这也正常，因为牛顿时代能直觉认识的也只有力了

后来才认识到相空间中的能量曲面个也包含物体运动的一切信息(拉氏哈氏）

由于能量曲面（或者说能量流形）永远是个凸曲面，这样我们才能用legendre变换更换等效坐标

记住，凡是能用legendre变换的，必定是凸函数（学数学的可以找本凸分析看看）

所以很久前我说过，这物理世界，本质上就是个凸函数

好了，什么是拉氏哈氏？区别联系是什么？其实很简单

拉氏是定义在能量曲面（流形）切面（tangent）上的矢量丛（vector bundle）

哈氏是定义在能量曲面（流形）余切面（cotangent）上的矢量丛（vector bundle）

两者通过legendre变换联系起来。

在切面或者余切面上可以定义lie algebra，这样vector bundle才有了动力学

这也是很好的。比rgg那个差一点点。

- 我刺激一下你。哈哈。

Legendre变换那里我迷惑了很久。现在我搞清楚了。

但是最后一句，“定义了Lie algebra，才有了动力学”，我又要想一想了。

[TheMatrix]

这两个动学的本质，是去除了牛顿的“力”。力本来也没有很好地进行定义，它并不是一个不可去除的物理量。把力去除后，这两个方程里面就都只有运动学的量，和一个东西叫做质量。

如果把质量也去除。。。

“力”也是有好处的。

动力学的特征，我觉得有两条：

1，时间演化的特征，状态一步一步往前走，有马尔可夫链的特征，还有迭代的特征。

2，借助另一个概念，（这个我觉得应该叫隐变量，但是隐变量似乎是一个专有名词，我不太清楚到底指啥），两个概念交替作用，才能推动状态的时间演化。力就是这么一个概念。有了这么一个概念，使每一步状态推动变得简单。我们关心系统下一步状态，但是系统状态是由“力”推动的，而“力”又是被系统上一步状态决定的。相互作用起来，这也是动力学的一个特征。电场磁场也有这个特征。

[Caravel]

“力”也是有好处的。

动力学的特征，我觉得有两条：

1，时间演化的特征，状态一步一步往前走，有马尔可夫链的特征，还有迭代的特征。

2，借助另一个概念，（这个我觉得应该叫隐变量，但是隐变量似乎是一个专有名词，我太清楚到底指啥），两个概念交替作用，才能推动状态的时间演化。力就是这么一个概念。有了这么一个概念，使每一步状态推动变得简单。我们关心系统下一步状态，但是系统状态是由“力”推动的，而“力”又是被系统上一步状态决定的。相互作用起来，这也是动力学的一个特征。电场磁场也有这个特征。

宏观物体力比较容易想象，如果作用对象是波函数，量子场，力则不好想象

[Caravel]

当你站在更高的高度，就能抛弃各种琐碎的细节，看到物理（或是说数学）的全貌

牛顿力学是以力为观测点，这也正常，因为牛顿时代能直觉认识的也只有力了

后来才认识到相空间中的能量曲面个也包含物体运动的一切信息(拉氏哈氏）

由于能量曲面（或者说能量流形）永远是个凸曲面，这样我们才能用legendre变换更换等效坐标

记住，凡是能用legendre变换的，必定是凸函数（学数学的可以找本凸分析看看）

所以很久前我说过，这物理世界，本质上就是个凸函数

好了，什么是拉氏哈氏？区别联系是什么？其实很简单

拉氏是定义在能量曲面（流形）切面（tangent）上的矢量丛（vector bundle）

哈氏是定义在能量曲面（流形）余切面（cotangent）上的矢量丛（vector bundle）

两者通过legendre变换联系起来。

在切面或者余切面上可以定义lie algebra，这样vector bundle才有了动力学

其实也简单，要描述一个体系的演化，需要知道当前的状态q,以及当前状态怎么变化dq/dt, 最简单的情形没有力，dq/dt保持不变，，如果dq/dt有变化，那就是二阶导数，那就是力

[TheMatrix]

当你站在更高的高度，就能抛弃各种琐碎的细节，看到物理（或是说数学）的全貌

牛顿力学是以力为观测点，这也正常，因为牛顿时代能直觉认识的也只有力了

后来才认识到相空间中的能量曲面个也包含物体运动的一切信息(拉氏哈氏）

由于能量曲面（或者说能量流形）永远是个凸曲面，这样我们才能用legendre变换更换等效坐标

记住，凡是能用legendre变换的，必定是凸函数（学数学的可以找本凸分析看看）

所以很久前我说过，这物理世界，本质上就是个凸函数

好了，什么是拉氏哈氏？区别联系是什么？其实很简单

拉氏是定义在能量曲面（流形）切面（tangent）上的矢量丛（vector bundle）

哈氏是定义在能量曲面（流形）余切面（cotangent）上的矢量丛（vector bundle）

两者通过legendre变换联系起来。

在切面或者余切面上可以定义lie algebra，这样vector bundle才有了动力学

你凸函数这个地方的叙述，有点神秘化了。

L(x,y)，固定y的话，有w=(∂L/∂x)这个量，也是一个变量，随x变化，反之亦然 - 也可以说x随这个量变化，因为它俩是关联的 - 不是互相独立的。

那我能不能所有遇到x的地方，都以w替换呢？比如L(x,y)写成L(x(w),y)变成了一个w和y的函数？这就要看
x <--> w=(∂L/∂x)
是不是一一映射。是的话，就可以无任何障碍替换。因为有一个x就有一个w，反之亦然嘛。

也就是要求x <--> ∂L/∂x是一一映射。或者说∂L/∂x作为x的函数，是一个单调递增，或者单调递减函数。也就是L对x的二阶偏导为正或者为负，不能跨越0。这正是凸函数的定义 - L对x是凸函数。

拉格朗日力学里面是L(\dot{q},q)，也就是x=\dot{q},y=q。而∂L/∂\dot{q}就是p - 动量。

为什么只有凸函数是“物理”的呢？

我觉得这个是从结果看的。因为你不凸函数的话，就没有x <--> w=(∂L/∂x)的一一映射，p = ∂L/∂\dot{q}的变换就做不了。做不了又能怎么样呢？不好说。哈密顿力学就没有了。但是，也不能绝对的看。另外，可能局部一一映射，也是能往前推进一些的。弃婴怎么看？

[TheMatrix]

宏观物体力比较容易想象，如果作用对象是波函数，量子场，力则不好想象

嗯。对。力这个概念，确实和场这个概念，不合拍。

[cozofxx]

这两个动学的本质，是去除了牛顿的“力”。力本来也没有很好地进行定义，它并不是一个不可去除的物理量。把力去除后，这两个方程里面就都只有运动学的量，和一个东西叫做质量。

如果把质量也去除。。。

力在平衡动力学问题里，是一个好的表征，能量要繁琐和麻烦得多，虽然看上去简单。

[rgg]

我很喜欢这个逻辑，能详细说说b吗？我没太看懂

如果L取到特殊的形式（给个名字拉格朗日量）， 那么给L对时间的积分也取个名字叫做作用量S，那么物理学家相信S对真实的物理轨迹取到最小值。

比如说碗里放个小球滚来滚去，我们知道小球的动能K和重力势能V加起来能量守恒。 但能不能说更多呢？ 考虑动能和势能的差，定义L=K-V， 那么物理学家假设大自然很懒，除了能量守恒， 在这个过程中， 动能和势能之间的转化也要最小。 S= int（L*dt）取得极值。

L在经典力学里如果等于K-V，那就和牛顿第二定律等价。 若有新规律，物理学家就想办法凑这个L让它得出的最小作用量规律符合现实。（其他答主提到的对称性什么的给凑L很多提示和限制）

[verdelite]

。。。动能和势能之间的转化也要最小。。。

这是不是蕴含了“惯性”这个性质在里面。

[verdelite]

哈密尔顿动学，用了能量和动量这两个东西。在一个能量守恒的体系里，哈密尔顿动学就很适用。而动量在很多情况下（没有外部作用时）也是守恒的，这大概造就哈密尔顿动学为一个体系的最简表述形式。

或者我们不从勒让德转换出发，而是直接给出这样的要求：对于一个能量守恒的动系统，找到一个方程描述之，只使用能量、动量和时间，它和牛顿兼容。那么你可以自己发展出哈密尔顿动学吗？

[Caravel]

这是不是蕴含了“惯性”这个性质在里面。

rgg这个说法很到位，惯性由质量表征，包含在T里面

[forecasting]

我来试着写个三分钟的：
首先是个纯数学事实：（a) 假如你有一个式子L依赖于一个函数f，这个函数的一阶导f'，和这个函数的自变量x，f的边界值固定已知，那么如果要求 L对x在边界内积分取得极值的话， L对f和f'的偏微分必须满足一个方程。 叫做欧拉拉格朗日方程。

(b) 现在加上物理， 如果f是物体的时空轨迹，自变量x是时间， 如果L取到特殊的形式（给个名字拉格朗日量）， 那么给L对时间的积分也取个名字叫做作用量S，那么物理学家相信S对真实的物理轨迹取到最小值。 这个信念加上适当选取L， 带入前面的欧拉拉格朗日方程，可以发现和牛顿力学兼容。这就是拉格朗日力学了。

(c) 再到哈密顿力学， 上面的L自变量是f, f', t, 对L做勒让德变换，H( dL/df', f,t) = T(L)叫做哈密顿量,欧拉拉格朗日方程改写为H的一阶偏微分方程就是哈密顿方程。

我学的久了也忘了，现在理解这三部分只有b是物理。(c)作为一个纯数学变换似乎说明哈密顿力学只是一个便捷形式，不是独立的力学原理，背后还是最小做用量的假设。

再补充一句， 我粗浅的理解是拉格朗日力学(b)是不能由牛顿力学推出的，只能说两者相容。它的假设比牛顿力学更大胆，范围更广。 相对论（对t积分换成对固有时积分），量子力学（路径积分）统统适用。

这么写，懂的都懂，不懂的还是不懂。学过而且数学基础好的觉得综述得好，没学过即使数学基础好，也半懂不懂。