贴个图

[gmo]

漂亮啊！

花了我两天的时间写程序。而思考这个程序，花了长得多的时间。应该有几个月了。

外行瞎问一句，这个程序用gnuplot就是套用系统demo改改，为什么用py需要这么长时间？

[TheMatrix]

外行瞎问一句，这个程序用gnuplot就是套用系统demo改改，为什么用py需要这么长时间？

那主要是因为我不会用gnuplot。:)

不过我看了一下gnuplot。感觉和python matplotlib区别并不大。这个程序的难点主要有两个：

1，曲线的点分布。一般demo都是自变量均匀分布，而在曲线弧长上分布并不均匀，会造成某些地方的断续。我这个程序主要解决的就是这个问题。

2，遮挡，shading，光影。matplotlib画曲面只能通过transparency或者叫opaque来调整，gnuplot好像也差不多。曲线在球面上的这种问题，不能用这种方法解决。应该是用OpenGL shading的方法。

不过我主要是为了学习椭圆曲线。画图算是一个有趣的digression，可能不会花时间去学OpenGL。

[FoxMe]

明白了。怎么解释y=x³在无穷远点是cusp？我也记得，但是忘了为啥。

又看了一下。这个和我画的是一样的。都是齐次方程在球面上的截取。因为球面是P²(R)的double cover，所以它也基本代表了齐次方程在P²(R)上的形象。

y=x³在球面上有cusp是对的。因为那个点正是无穷远点。y=x³在无穷远点是cusp。

[FoxMe]

直纹面能不能画出来？哈哈

这是好问题啊。方程虽然和z无关，但是要研究方程在无穷远点的性质，也就是渐近线的性质，最方便的办法，就是把它齐次化。比如
y²=x³-x，
变成
y²z=x³-xz²
这样变了之后，如果(x,y,z)是解，那么λ(x,y,z)也是解，所以齐次方程的解是有直纹面构成的。
而如果用z=1平面截取这个齐次方程的解的话，得到的曲线就是原方程非齐次方程的解。

所以齐次化之后，信息不减少，只增多。增多的是什么呢？就是无穷远点的那一点：在齐次方程中，无穷远点由[0,1,0]这点所延申的直线代表 - 这条直线和z=1平面不相交的 - 可以认为相交于无穷远点。这些名词有点令人迷惑，但是在齐次方程中，这些词汇可以去掉。[0,1,0]所代表的直线，只是齐次方程直纹面解中的一个，和其他任何直线没有什么不同。也就是把“无穷远点”这种令人迷惑的概念化解了。

为什么要研究无穷远点？虽然只少了一点，但是在拓扑中，少了一大块。想想什么是无穷远点的邻域。这点的邻域去掉的话，还剩多少。这个地方是数学中的theme，有很深的理由，不容易说清楚。我先只能说这么多。

[TheMatrix]

明白了。怎么解释y=x³在无穷远点是cusp？我也记得，但是忘了为啥。

这么看：
先齐次化：yz²=x³。
然后set y=1，相当于转个方向看这个曲线：z²=x³。
它在(x,z)=(0,0)点是一个cusp。

[TheMatrix]

直纹面能不能画出来？哈哈

肯定能。我试过，但是效果很不好。

其实画直纹面，对这个问题是很有意义的。因为直纹面才是这个问题里面真正的“物体”。

如果能3D打印出来就更好了。这就是真正的形象化的学数学了。

[FoxMe]

明白了。这么看，球面投影的意义就很明显了。终于体会到projective variety的好处了。

这么看：
先齐次化：yz²=x³。
然后set y=1，相当于转个方向看这个曲线：z²=x³。
它在(x,z)=(0,0)点是一个cusp。

[TheMatrix]

研究了一下。我这个点线3D图，叫wireframe。这种图静态没法看，因为后面本应被遮挡的线也能看见。动起来还是能看，但是也比较乱。

有遮挡的3D图，应该叫surface。每一块表面，可以叫face，或者叫patch，名字也是很合理的。前面的patch可以遮挡后面的patch，这个概念是很自然的。视觉效果就好多了。

gnuplot 有遮挡效果的 surface:


python matplotlib surface:


还是gnuplot的surface看着清楚。matplotlib的surface，调了一下颜色，线宽，color map，还是乱。不过它能用鼠标抓住直接旋转。动画也不用做了。

但是surface上画曲线，这个问题仔细想一下，相当的不容易。surface和曲线不能是两个独立的object，否则会互相遮挡。把surface设成半透明的，这也不好。效果和wireframe差不多了。道理上也是不对的。

一种方法是把曲线的每一段作为surface patch的一个边，那需要把surface的patch重新划分，这很复杂。

另一种方法是OpenGL的texture方式，相当于贴膜。这个方法也有问题。

[TheMatrix]

matplotlib球面看着还可以。没有gnuplot那么清爽，但是也还可以。如果上面能画上曲线就好了。

[TheMatrix]

一种方法是把曲线的每一段作为surface patch的一个边，那需要把surface的patch重新划分，这很复杂。

另一种方法是OpenGL的texture方式，相当于贴膜。这个方法也有问题。

看来我想复杂了。这个图最后用Python Plotly解决了。





Matplotlib据说不是true 3d。它没有把line当成true 3d object。而surface是true 3d object。在surface前面画线看不见，因为它的z-order是不对的。

据说Plotly是true 3d。所以我试了一下Python Plotly，果然。直接在surface上画线就行了。我想复杂了。

Plotly的3d图也能鼠标转动。想看什么角度就看什么角度。效果相当不错。

以后我改用Plotly了。

[TheMatrix]

再来个光滑球面，无坐标线的。看着多清爽啊：





Plotly太牛了。

[TheMatrix]

肯定能。我试过，但是效果很不好。

其实画直纹面，对这个问题是很有意义的。因为直纹面才是这个问题里面真正的“物体”。

如果能3D打印出来就更好了。这就是真正的形象化的学数学了。

直纹面的来了。

这个是 y²=x³-x 的齐次化直纹面，绕z-轴旋转。

这个还是matplotlib画的点线图，没有遮挡效果，看着比较乱。但是动起来还能看。

从这个动图可以看出，曲线上的点，我基本上做到了均匀分布。

比我以前画的一个效果好。因为以前那个没有做到均匀分布。另外这个图直线都截取到单位球面，比较统一。

中间一片像个木耳。

[TheMatrix]

直纹面的来了。

这个是单叶的。y²=x³+x²-x+2。

[TheMatrix]

还是Plotly好：

[FoxMe]

不错不错，专业水准。终于看到全貌了。

丘成桐是不是就研究类似这样的曲面？

[TheMatrix]

不错不错，专业水准。终于看到全貌了。

丘成桐是不是就研究类似这样的曲面？

我也是第一次看到全貌。

不过这是实数空间上的，复数空间上的，只能靠想象了。丘成桐研究的应该都是复数空间的。Calabi-Yau空间。

[TheMatrix]

还是Plotly好：

再加个wireframe就完美了：

[FoxMe]

赞

[TheMatrix]

Plotly也能转起来。但是存图之后效果就不行了。

[FoxMe]

超赞！